Matemática

Comentário sobre produto interno

Esta postagem, de caráter explicativo/introdutório/elementar é direcionada para quem tem pouca familiaridade com a noção de produto interno e tem o objetivo de auxiliar a compreensão de duas postagens posteriores.

Lembremos que quando falamos de funções cujo domínio é $$\mathbb{R}$$, é costumeiro utilizar o símbolo $$x$$ para representar um elemento qualquer de $$\mathbb{R}$$ e a notação $$f(x)$$ para representar a imagem do elemento $$x$$.

Por sua vez, quando o domínio da função é $$\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$$ frequentemente utilizamos o símbolo $$(x,y)$$ para representar um elemento de $$\mathbb{R}^2$$ e a notação $$f(x,y)$$ para representar a imagem do elemento $$(x,y)$$. Assim, a notação $$f\left ( (x,y) \right )$$ é, usualmente, deixada de lado.

Fato simples, mas talvez pouco notado, é que às vezes dispensamos até mesmo a notação $$f(x,y)$$ ao lidarmos com uma função de duas variáveis. Por exemplo, quando o assunto é a adição não escrevemos $$f(2,8) = 10$$ mas sim $$2+8 = 10$$ (e a adição é uma função que leva $$\mathbb{R}^2$$ em $$\mathbb{R}$$).

Algo semelhante ocorre com o produto interno. Mas o que mesmo é um produto interno?

Dado um espaço vetorial real $$V$$, um produto interno em $$V$$ é uma função $$f:V\times V \rightarrow \mathbb{R}$$ que cumpre as seguintes exigências:

$$f(u,v)=f(v,u)$$

$$f(u+w,v)=f(u,v)+f(w,v)$$

$$f(ku,v)=kf(u,v)$$

$$f(u,v+w)=f(u,v)+f(u,w)$$

$$f(u,kv)=kf(u,v)$$

$$f(u,u)>0$$ quando $$u \neq 0$$

E isso tem que valer sempre, quaisquer que sejam $$u,v,w\in V$$ e $$k\in\mathbb{R}$$.

O produto interno mais comum (talvez o primeiro com o qual entramos em contato) é aquele definido em $$\mathbb{R}^n$$ através da expressão

$$u\cdot v=u_1v_1+u_2v_2+\cdots +u_nv_n$$

onde $$u=(u_1,u_2,...,u_n)$$ e $$v=(v_1,v_2,...,v_n)$$ são vetores de $$\mathbb{R}^n$$ (o leitor interessado poderá verificar que esta operação satisfaz todas as condições acima mencionadas e que, portanto, realmente se trata de um produto interno no sentido da definição dada).

Correndo o risco de parecer redundantes, frisamos que num contexto mais amplo, não apenas esta operação é denominada de produto interno mas também qualquer outra que satisfaz as condições listadas.

Outra coisa para se notar é que neste caso específico, em vez de usarmos a notação $$f(u,v)$$ para indicar a imagem do par $$(u,v)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$$ utiliza-se simplesmente $$u\cdot v$$. No mesmo contexto em que esta notação ocorre, tal operação é conhecida como produto escalar e, em outros contextos (nos mais gerais), ela é conhecida como produto interno canônico. O fato é que nem mesmos nestes ?outros contextos? se costuma utilizar a notação $$f(u,v)$$ para representar o produto interno de $$u$$ e $$v$$. Na prática, o que se utiliza é $$\langle u,v \rangle$$. Substituindo esta notação nas seis condições acima mencionadas, o leitor poderá obter um enunciado convencional da definição de produto interno em espaços vetoriais reais.

Dito isto, nosso objetivo é explorar esta noção numa demonstração de uma versão do teorema de Pitágoras para espaços vetoriais reais e numa demonstração da desigualdade de Schwarz (também para espaços vetoriais reais). Confira em breve aqui no BLOG MANTHANO.

Referência: Livro Álgebra Linear de Elon Lages Lima.
Erros podem ser relatados aqui.

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