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Matemática
Os Primeiros Matemáticos
Admite-se universalmente que os gregos foram os primeiros matemáticos. Primeiros no sentido de que foram eles que iniciaram o desenvolvimento da matemática a partir de princípios básicos. Hípias $(425a.C.)$, ou algum outro por volta de sua época, mostrou que, em termos de números inteiros, não era possível nenhuma comparação numérica exata entre os lados e a diagonal de um quadrado de lado unitário, assim como no pentágono regular ou num cubo. Na verdade, para muitas figuras geométricas conhecidas.
Foi um choque para a comunidade matemática grega tomar conhecimento de que há coisas como segmentos de reta incomensuráveis e que a ocorrência dessa situação é espantosamente comum, isto é, que conceitos afins ao cálculo aparecem nas mais elementares situações. Os diálogos de Platão mostram que os matemáticos da época ficaram profundamente perturbados com essa descoberta.
A descoberta da incomensurabilidade confrontou os matemáticos diretamente com um processo infinito. Sempre que o algoritmo euclidiano para achar o máximo divisor comum de dois números inteiros é aplicado em aritmética, o processo acaba num número finito de passos, pois o conjunto dos inteiros positivos tem um mínimo, o número $1$. Se, por outro lado, o esquema análogo é aplicado com uma visão geométrica para achar a medida comum a dois segmentos de reta incomensuráveis, o processo prosseguirá indefinidamente. Não há algo como menor segmento de reta, pelo menos não segundo a visão grega ortodoxa, nem segundo os conceitos modernos convencionais.
A perspectiva de um processo infinito perturbou os matemáticosantigos, pois se viam diante de uma crise. Eram incapazes de replicar aos sutis paradoxos de Zenão de Etéia propostos por volta da mesma época em que se deu a devastadora descoberta dos incomensuráveis. Aristóteles e outros filósofos gregos procuraram responder a esses paradoxos, mas o fizeram de maneira tão pouco convincente, que os matemáticos da época concluíram que era melhor evitar totalmente os processos infinitos.
Essa visão poderia parecer um impedimento a qualquer equivalente grego do cálculo. Eudóxio sugeriu uma abordagem que aos matemáticos pareceu irrefutável e que servia essencialmente aos mesmos propósitos de um processo infinito. Ele começou com um axioma, muitas vezes conhecido como "Lema de Arquimedes", que parece como Definição 4 no Livro $V$ dos Elementos de Euclides.
"Diz-se que grandezas têm uma razão, uma para a outra, se,
por multiplicação, uma for capaz de exceder à outra."
Eudóxio com certeza utilizou essa "definição", que realmente é uma suposição, de maneira muito semelhante à empregada por Euclides no Livro $X$, 1 (e ainda posteriormente por Arquimedes) para provar o procedimento básico no "método da exaustão", o equivalente grego do cálculo:
"Consideradas duas grandezas desiguais, se da maior subtraírmos uma grandeza maior que a metade, e da que resta uma grandeza maior que sua metade, e ese este processo é repetido continuamente, restará uma grandeza que será menor que a menor das grandezas consideradas."
Essa afirmação pode ser generalizada substituindo "maior que sua metade" por "maior que ou igual à sua metade (ou seu terço ou qualquer outra fração própria)".
Aqui, numa forma geométrica desajeitada, está um dos mais antigos teoremas sobre limites, pois o fulcro da questão é que se $A$ é a maior das grandezas dadas (positivas) $A$ e $a$, e se $u_n = \dfrac{A}{2^n}$, então:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0 < a$$
deve-se demonstrar que, dado um número positivo $\varepsilon $, mesmo que pequeno (o equivalente da grandeza menor $a$ na proposição de Euclides), pode-se achar um inteiro $N$ (o equivalente da frase de Euclides "se este processo é repetido continuamente") tal que para $n>N$ vale a relação $u_n<\varepsilon $.
Notamos que, enquanto a notação moderna recorreu ao símbolo de infinito, a linguagem antiga cuidadosamente evitava qualquer referência aberta a um processo infinito. As duas formulações, no entanto, não estão distantes quanto a seu significado. Para mostrar que:
$$\lim_{n\rightarrow \infty}u_n=0$$deve-se demonstrar que, dado um número positivo $\varepsilon $, mesmo que pequeno (o equivalente da grandeza menor $a$ na proposição de Euclides), pode-se achar um inteiro $N$ (o equivalente da frase de Euclides "se este processo é repetido continuamente") tal que para $n>N$ vale a relação $u_n<\varepsilon $.
O cálculo de Euclides (derivado, presumivelmente, de Eudóxio) pode ter sido menos efetivo que o de Newton e Leibniz, dois milênios mais tarde, mas, em termos de ideias básicas, não estava muito longe do conceito de limite usado rudemente por Newton e aprimorado no século $XIX$.
Referências:
[1] Tópicos de História da Matemática - Cálculo - Carl Boyer - Atual Editora
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