Matemática
Se os pitagóricos observaram ou não esse processo infinito, ou se dele tiraram conclusões significativas, não se sabe. Mesmo a questão mais fundamental de saber se os pitagóricos de cerca de $500 a.C.$ sabiam dividir um segmento em média e extrema razão não pode ser respondida com segurança, embora pareça muito provável que sim.
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Matemática
A Origem do Termo Número de Ouro
Escrever sobre o Número de Ouro chega até ser difícil, mas o que me levou a escrever este artigo, na verdade nem foi a matemática envolvida, mas sim quando que este número começou a ser chamado como tal.
Kepler, a cerca de $2.000$ anos depois dos pitagóricos, escrevia liricamente:
"A Geometria tem dois grandes tesouros. Um deles é o Teorema de Pitágoras; o outro, a divisão de um segmento em média e extrema razão. O primeiro pode ser comparado a uma medida de ouro; o segundo podemos chamar de joia preciosa."
Talvez uma das primeiras aparições do número de ouro, tenha sido na Era Helênica, na Escola Pitagórica, quanto à construção do pentagrama ou pentágono estrelado. Se iniciarmos com um polígono regular $ABCDE$ e traçarmos cinco diagonais, estas se intersectam nos pontos $A’B’C’D’E’$, formando um outro pentágono regular. Vejam que o triângulo isósceles $BCD’$ é semelhante ao triângulo $BCE$. Vejam também que os pontos $A’B’C’D’E’$ dividem as diagonais de uma forma especial.
Em cada caso, um ponto da diagonal divide uma diagonal em dois segmentos desiguais tais que a razão da diagonal toda para a parte maior é igual à razão deste para o menor. Essa subdivisão é a tão conhecida “secção áurea” de um segmento.
Os gregos antigos não acharam necessário dar um nome especial, já que esta relação era muito familiar e a chamavam simplesmente de “secção”.
Uma propriedade interessante da secção é que ela se autopropaga: Seja o segmento $AB$ dividido em média e extrema razão por $P_1$, sendo $AP_1$ o segmento maior. Sobre este segmento maior, marcamos o ponto $P_2$ tal que $AP_2 = P_1B$. Então, o segmento $AP_1$ ficará subdividido em média e extrema razão pelo ponto $P_2$. Se marcarmos em $AP_2$ o ponto $P_3$ tal que $AP_3 = P_2P_1$, o segmento $AP_2$ ficará subdividido em média e extrema razão por $P_3$.
Esse é um processo iterativo e se o repetirmos, obteremos segmentos $AP_N$ cada vez menores, divididos em média e extrema razão pelo ponto $P_{N+1}$.
Referências:
[1] História da Matemática – Carl Boyer e Uta Merzbach – 3ª edição – Editora Blucher.Veja mais:
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