Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)
Há diversas construções geométricas utilizando circunferências onde podemos encontrar a constante Φ (PHI), ou o número de ouro.
Sejam três circunferências de diâmetros iguais a 1, cujos centros são colineares e tangentes entre si duas a duas. Demonstraremos que o segmento BE = CD = Φ.
Da figura acima, temos que no triângulo ABC, os segmentos AB = 1 e AC = 2. Logo, o segmento BC será dado pelo teorema pitagórico:
Por simetria, temos que os segmentos BD e EC são iguais:
Da mesma forma, temos que os segmentos BE e CD são iguais e:
Esta simples e elegante construção geométrica de como expressar Φ foi elaborada por Bengt Erik Erlandsem em 2006.
Outra forma de provar que o segmento BE = Φ foi sugerida pelo Professor Paulo do blog Fatos Matemáticos, como segue abaixo:
Como o segmento BC = √5 e de BD + DE = DE + CE segue que BD = CE Assim:
Como DE é o diâmetro da circunferência de raio 1, temos que :
Veja mais:
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)
A Razão Áurea no blog Fatos Matemáticos
- Construção Geométrica De Phi Em Circunferências (parte 8)
Esta construção foi elaborada por Jo Niemeyr e publicada no Forum Geometricorum, volume 11 de 2011. 1) Para esta construção, inicie com uma circunferência de dentro D e diâmetro AB. 2) Trace uma reta tangente ao ponto A, prolongando-a. 3) Descreva...
- Construção Geométrica De Phi Em Circunferências (parte 7)
Esta construção foi elaborada por Michael Bataille e publicada no Forum Geometricorum em 2011. Seja um triângulo equilátero ABC, onde em um de seus lados, externamente, construa um quadrado, cujos lados também serão de comprimento AB. Com centro...
- Construção Geométrica De Phi Em Circunferências (parte 5)
Esta talvez seja a construção mais conhecida da Razão Áurea e consiste em inscrever um quadrado numa semicircunferência. A razão entre os segmentos AC e AB é a Razão Áurea. Como já temos o segmento AB, vamos escrever o segmento AC em função...
- Construção Geométrica De Phi Em Circunferências (parte 4)
Esta é uma construção de com sobreposição de circunferências. Duas circunferências concêntricas de raios r e 2r sobrepõem-se a outras duas circunferências concêntricas idênticas, de tal modo que o centro das duas primeiras seja um ponto da...
- Construção Geométrica De Phi Em Circunferências (parte 2)
Esta é uma construção com três circunferências concêntricas, cujos raios estão numa proporção de 1 : 2 : 4, onde podemos encontrar a razão áurea: Sejam três circunferências concêntricas de raios 1, 2 e 4. Traçar uma tangente à circunferência...