Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 8)
Esta construção foi elaborada por Jo Niemeyr e publicada no Forum Geometricorum, volume 11 de 2011.
1) Para esta construção, inicie com uma circunferência de dentro D e diâmetro AB.
2) Trace uma reta tangente ao ponto A, prolongando-a.
3) Descreva uma circunferência de dentro D e raio AB e centro marque o ponto C na intersecção com a reta tangente.
4) Una os pontos CD e marque como F a intersecção com a primeira circunferência. Vejam que os segmentos AB e CD tem mesmo comprimento.
5) Com centro em F e raio AB descreva uma circunferência interceptando a reta tangente em E.
6) Vejam que o segmento EF tem o mesmo comprimento dos segmentos AB e CD.
O ponto C divide o segmento AE na razão áurea.
Demonstração
Primeiramente vamos demonstrar que os pontos G e H dividem em partes iguais os segmentos AC e AD, respectivamente.
Como os segmentos AB e CD tem mesmo comprimento, temos que CD = 2AD e FD = AD. Assim:
Da mesma forma, como os segmentos AB e CD tem mesmo comprimento, CD = 2AD e CF = AD. Assim:
Desta forma, temos que:
Aplicando o teorema pitagórico no triângulo EFG, obtemos:
Como EF = AB = 2DA, fazemos:
Agora, aplicamos o teorema pitagórico no triângulo ACD, obtendo:
Como o segmento CD = AB = 2AD, fazemos:
Como o ponto G divide o segmento AC em partes iguais, temos:
O segmento AE é composto por:
Chegamos então à razão áurea que será dada por:
Veja mais:
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 1)
Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 2)
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Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 4)
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