Matemática

Por que todo número elevado a zero dá um?

Inicialmente esclareço que a finalidade desta postagem é responder por que todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um?. A importante restrição diferente de zero não foi mencionada no título para não estendê-lo demais.

Resposta rápida (e correta!): todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um por definição.

Resposta legal: o que faremos a seguir é justificar o motivo de definir tal potência como sendo igual a um.

Relembremos que quando estamos falando de potências a expressão aⁿquer representar um produto de n fatores iguais a a. Deste modo temos o seguinte exemplo:

5³ quer representar um produto de 3 fatores iguais a 5:

5³ = 5.5.5

Como de costume: o a é chamado de base e o n é chamado de expoente. Portanto, na potência 2⁶a base é o número dois e o expoente é o número seis.

Relembremos agora a seguinte regrinha (certamente bem conhecida de todo usuário e matemática):

a^m . aⁿ = a^m+n

Vejamos a regra acima sendo colocada em prática:

3² . 3³ = 3²⁺³

De fato:

3² . 3³ = 3.3 . 3.3.3 = 3⁵ = 3²⁺³

Um argumento bastante simples para esta regra é o seguinte: em ambos os lados da igualdade temos um produto de m+n fatores iguais a a (convença-se disto!!).

Observação importante: a definição de potência, inicialmente, faz sentido apenas para quando o expoente é um número natural não nulo, ou seja, o zero não entra na definição de expoente, afinal não faz nenhum sentido falarmos em produto de zero fatores. Assim, na regrinha acima, m e n são números naturais diferentes de zero.

O ponto crucial é o seguinte: para definir quanto vale a expressão a⁰os matemáticos desejam que a regra acima de repete a base soma os expoentes continue válida.

Esta é exatamente a ideia que se deve seguir para escolher uma definição adequada. Ideia esta que, inclusive, não ocorre apenas neste caso: estender o conceito de modo que os resultados obtidos anteriormente continuem válidos.

No nosso caso o ?conceito? é o de potência (que, como já dissemos, a princípio faz sentido apenas para números naturais não nulos), o ?resultado anterior? é a regrinha dos expoentes apresentada acima. E estamos querendo estender o conceito para englobar o expoente zero.

Vejamos o que acontece quando consideramos esta possibilidade:

Temos o seguinte resultado, já validado:

a^m . aⁿ = a^m+n

Queremos que o zero possa ser considerado um expoente, ou seja, queremos atribuir significado para a expressão a⁰. Mas queremos que a regra dos expoentes continue funcionando quando o expoente for zero, ou seja, queremos que seja válida a igualdade seguinte:

a⁰ . aⁿ = a⁰⁺ⁿ

Felizmente sabemos quanto vale a soma 0+n e portanto podemos escrever:

a⁰ . aⁿ = aⁿ

Agora reflita: qual é o valor que deve ser atribuído ao termo a⁰ de modo que a igualdade acima fique válida?

Observe que quando multiplicamos aⁿ por a⁰não acontece nada!

Ou seja, o número aⁿpermanece o mesmo. Logo a unica escolha possível é:

a⁰ = 1

Espero então que tenha ficado claro que: defini-se a⁰ igual a um, pois é conveniente que assim seja, visto que fazendo isso se estende o conceito para englobar mais casos sem perder a validade da regra já conhecida.

Observação: no caso em que a = 0 obtemos a expressão indeterminada 0⁰. O leitor interessado poderá encontrar uma interessante discussão a este respeito na segunda referência (então fique atento, pois zero elevado a zero NÃO é um!! Zero elevado a zero é indeterminado, não possui um valor que se impõe naturalmente, vide referência para mais detalhes, contudo nada o impede de defini-lo como sendo um (apesar de ser pouco comum)).

Procedendo de forma parecida é possível estender o conceito de potência ainda mais, de modo que a expressão a^-mtambém tenha significado, ou seja, de modo a definir potência de expoentes negativos.

Vejamos mais este caso como exemplo de como funciona o procedimento de elaborar uma definição conveniente (aqui, como no caso anterior, temos a diferente de zero). Novamente deve-se querer que a regra para expoentes positivos não perca a validade:

a^m . aⁿ = a^m+n

Vejamos o que acontece nesta regra quando aparece um expoente negativo (vamos escolher, convenientemente, os expoentes como sendo m e -m):

^{a^m . a^-m = a^m+(-m)}

Retirando os parênteses do expoente:

^{^{^{a^m . a^-m = a^m-m}}}

Sabemos quanto vale m-m então podemos escrever:

^{^{^{^{a^m . a^-m = a⁰}}}}

Mas já vimos quanto vale uma potência de expoente nulo, então obtemos:

^{a^m . a^-m = 1}

Logo, a única escolha possível é:

a^-m = 1/a^m

Resumindo: se quisermos estender o conceito de potência (de base não nula) de modo que o expoente possa ser zero ou possa assumir valores inteiros negativos sem que a igualdade a^m . aⁿ = a^m+n perca a validade as únicas definições possíveis, como visto, são:

a⁰ = 1

a^-m = 1/a^m

Está, pois, respondido por que todo número, diferente de zero, elevado a zero é igual a um?: Porque se trata de uma definição conveniente que preserva a validade de uma regra já conhecida (concordemos que seria muito "chato" você ter que escolher uma regra diferente ou ficar impedido de usar determinada regra para potências baseado no que aparece de expoente. Então, fazendo definições com base neste princípio - de regras já conhecidas permanecerem válidas - os matemáticos conseguem um maior grau de generalidade, que é uma característica fundamental, e diga-se de passagem muito apreciável, da matemática).

Que fique claro também que o que contém acima não é uma demonstração, é, na verdade, uma justificativa para uma definição.

O que ocorre, infelizmente, é que nalgumas escolas nada disso é dito. Tudo é imposto como se fossem dogmas e os alunos não tem sequer um vislumbre do que consiste o pensamento matemático.

Referências:

LIMA, Elon Lages. et al. Funções Exponenciais e Logarítmicas. In: A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. 6. ed. Rio de Janeiro: SBM 2006, p. 171-212. (Coleção do Professor de Matemática).

LIMA, Elon Lages. Conceitos e Controvérsias. In: Meu Professor de matemática e Outras Histórias, Sociedade Brasileira de Matemática, 1991, p. 149-206.

Videoaula do PAPMEM: 27-01-10 - 10:45 - 12:00 - Professor Elon - Função Exponencial

*Erros podem ser apontados aqui.

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