Matemática
Veja mais:
A Aritmética de Peano
Bertrand Russel e o Logicismo
Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética
- O Problema Da Constante De Euler-mascheroni
Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte: Mostre que a soma é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim: Solução:...
- A Existência De "e"
Nesse post iremos tratar do famoso número de Euler , assim chamado em homenagem ao matemático suiço Leonard Euler, e o mesmo é a base dos logaritmos naturais. Iremos mostrar sua existência e que é limitado, . Definimos como sendo...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos. Seja a integral: \begin{equation} I = \int \text{sen}(3x)...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
Matemática
Princípio de Indução Completa ou Raciocínio por Recorrência
Se uma propriedade é verdadeira para o número $1$ e conseguimos demonstrar que é verdadeira para $n$ sempre que for verdadeira para $n-1$ então ela será verdadeira para todos os números naturais.Vamos demonstrar que a soma dos $n$ primeiros naturais é:
$$S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$A fórmula é verdadeira para $n=1$, pois $S_1=1$. Suponhamos que a fórmula seja verdadeira para os $n-1$ primeiros números. Assim, pela hipótese da indução:
$$S_{n-1}=\frac{\left ( n-1 \right ) \left ( n-1+1 \right )}{2}=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}$$Mas como:
$$S_n=1+2+3+\cdots +n=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$A fórmula é verdadeira para $n=1$, pois $S_1=1$. Suponhamos que a fórmula seja verdadeira para os $n-1$ primeiros números. Assim, pela hipótese da indução:
$$S_{n-1}=\frac{\left ( n-1 \right ) \left ( n-1+1 \right )}{2}=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}$$Mas como:
$$S_n=S_{n-1}+n$$
Logo:
$$S_n=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}+n$$
$$S_n=\frac{n^2-n+2n}{2}=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$
Assim, a proposição fica demonstrada para todo $n$. Para Poincaré, esse é o raciocínio matemático por excelência.
Referências:
[1] Gênios da Ciência Vol. 12 – A Vanguarda da Matemática e os Limites da Razão
$$S_n=\frac{\left ( n-1 \right )n}{2}+n$$
$$S_n=\frac{n^2-n+2n}{2}=\frac{n^2+n}{2}=\frac{n\left ( n+1 \right )}{2}$$
Assim, a proposição fica demonstrada para todo $n$. Para Poincaré, esse é o raciocínio matemático por excelência.
Referências:
[1] Gênios da Ciência Vol. 12 – A Vanguarda da Matemática e os Limites da Razão
Veja mais:
A Aritmética de Peano
Bertrand Russel e o Logicismo
Dirichlet e os Números Primos de uma Progressão Aritmética
- O Problema Da Constante De Euler-mascheroni
Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte: Mostre que a soma é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim: Solução:...
- A Existência De "e"
Nesse post iremos tratar do famoso número de Euler , assim chamado em homenagem ao matemático suiço Leonard Euler, e o mesmo é a base dos logaritmos naturais. Iremos mostrar sua existência e que é limitado, . Definimos como sendo...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos. Seja a integral: \begin{equation} I = \int \text{sen}(3x)...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...