Matemática
Exercícios Resolvidos
- Num clube desportivo 30 meninos praticam futebol. Doze treinam para o ataque, quinze para a defesa e cinco para guarda-redes.
Qual é a probabilidade de escolhendo um desportista ao acaso ele treinar para a defesa e o ataque?
R:
Para ajudar vamos fazer um esquema:
Logo, temos 36 acontecimentos possíveis.
(b) Calcule a probabilidade de:
Casos possíveis: 36
Logo, P = 1/36
Casos possíveis: 36
Logo, P = 25/36
Exercícios Propostos
1 - Num saco existem 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Um indivíduo vai tirar uma bola à sorte. Calcule a probabilidade do número da bola ser:
(a) o número 7;
(b) um número par;
(c) um número maior que 10;
(d) um número menor que 4;
(e) um número natural menor que 11;
(f) não sair divisor de 10.
2 - Cartas.
Estas cartas são baralhadas e voltadas para baixo. O Carlos fecha os olhos e tira uma carta à sorte.
Calcule a probabilidade de sair:
(a) um ás;
(b) valete ou rei;
(c) não sair dama;
(d) sair carta vermelha.
*3 - Tiro ao alvo.
O Jorge e o Rui divertem-se atirando uma seta para o alvo.
O Jorge aposta que acerta na região amarela e o Rui na região laranja.
Tendo em conta que :
*4 - Um estojo contém esferográficas de três cores diferentes: azul, encarnado e verde.
Sabendo que:
5 - Totoloto.
Dentro de uma tômbola estão 49 bolas numeradas de 1 a 49.
Para preencher uma aposta no seu boletim do totoloto o Eng. Barros começa por fazer girar a tômbola para misturar bem as bolas.
Em seguida, fez seis extracções sucessivas, sem repôr nenhuma. Qual é a probabilidade:
(a) da primeira bola ter o número 32;
(b) da segunda bola ter o número 2, se a primeira bola tinha o número 40;
(c) da terceira bola ter o número 27, se a primeira bola tinha o número 44 e a segunda bola o número 27?
6 -
Cada um destes sacos contém bolas numeradas de 1 a 7.
A experiência consiste em tirar simultâneamente e ao acaso uma bola de cada saco e anotar a soma dos número inscritos nas duas bolas.
Qual a probabilidade da soma ser:
a) 10;
b) menor que 5;
c) maior do que 14;
d) maior ou igual a 2;
e) um número par.
*7 - O Pancrácio lançou ao acaso e simultaneamente três moedas perfeitas.
Calcula a probabilidade de ocorrerem os seguintes acontecimentos:
a) A: "saída de três caras";
b) B: "saída de duas caras e um escudo";
c) C: "saída de uma só cara";
d) D: "saída de pelo menos um escudo".
8 - Num aquário estão 20 peixinhos, 5 dos quais são fêmeas. Tiramos um peixinho ao acaso.
Qual a probabilidade de sair:
a) uma fêmea?
b) um macho?
c) uma fêmea ou um escudo?
d) não ser fêmea nem macho?
9 - A turma dos Gémeos.
Há 28 alunos numa turma incluindo 2 pares de Gémeos. Qual é a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser um dos gémeos?
10 - Ursinhos de geleia.
Um pacote contém 15 ursinhos laranja, 13 amarelos e 12 verdes.
(10.1) Tirando ao acaso um dos ursinhos qual é a probabilidade de sair:
Qual é a probabilidade de ele tirar um terceiro ursinho ao acaso e ser:
O T O R R I N O L A R I N G O L O G I S T A
sendo igualmente provável que saia qualquer uma delas.
a) Qual é a probabilidade de sair uma letra T?
b) Qual a letra do alfabeto que tem maior probabilidade de sair? Qual é essa probabilidade?
c) Qual a probabilidade de sair uma vogal?
12 - A moeda e o rectângulo.
Uma moeda de 1$00 é lançada ao acaso neste rectângulo.
Calcule a probabilidade do centro da moeda cair na região colorida.
*13 - A Roleta.
No jogo da roleta o jogador joga contra a banca.
Pode sair um número qualquer de zero a trinta e seis.
O zero tem côr verde.
Os outros 36 números diferentes de zero, são 18 vermelhos e 18 negros.
Se não sair nenhum dos números em que o jogador apostou, as apostas revertem para a banca.
Um jogador aposta em todos os números vermelhos.
a) Calcula a probabilidade de ganhar:
*14 - A Lassie.
A Lassie teve 5 cachorrinhos.
(14.1) Sabendo que se pegares num cachorrinho ao acaso a P("sair macho")=0,4 determina a P("sair fêmea").
(14.2) Determina quantas fêmeas e quantos machos nasceram.
15 - Os frascos de doce.
Numa caixa estão frascos de alperce, morango e laranja.
Extrai-se ao acaso um frasco da caixa.
A probabilidade de sair doce de alperce é 1/3 e de sair doce de laranja é 1/2.
(15.1) Determina a probabilidade de sair doce de morango.
(15.2) Há 12 frascos de doce de morango. Quantos frascos há na caixa?
16 - Caramelos...
Numa taça há 9 caramelos de café.
Quantos caramelos de leite devem ser colocados dentro da taça de modo a que a probabilidade de tirar um caramelo de café seja:
a) 1?
b) 3/5?
17 - Jogam-se ao mesmo tempo um dado e duas moedas.
Qual é a probabilidade de obter um 5 e duas faces escudo?
18 - Existem três urnas que contém bolas iguais, azuis e verdes, segundo o esquema:
Escolhendo ao acaso uma urna é retirada dessa urna, ao acaso, uma bola.
Qual a probabilidade de sair azul?
*19 - De uma urna contendo três bolas brancas, duas verdes e duas azuis extraiem-se duas bolas simultâneamente. Qual a probabilidade de:
a) ambas as bolas serem azuis?
b) uma das bolas ser azul e a outra verde?
c) uma das bolas ser azul e a outra branca?
21 - Num saco temos 18 bolas: 4 amarelas, 5 brancas e 9 pretas.
Tira-se uma bola ao acaso do saco.
(2.1.1) Qual é a probabilidade de a bola ser preta?
(2.1.2) Qual é a probabilidade de a bola ser branca ou amarela?
(2.1.3) Haverá um acontecimento cuja probabilidade seja 20/18? Jusitifique.
(2.1.4) Supondo que tirávamos duas bolas ao acaso do saco, sem repôr a primeira, determine a probabilidade das duas bolas serem:
*22 - Suponha que lança uma dado numerado de 1 a 6, muitas vezes: 1000 vezes ou 10.000 vezes, ou mais.
Quantas vezes espera que saia o número 3? Justifique.
23 - No frigorífico tínhamos iogurtes da mesma marca e de três sabores: morango, ananás e banana.
A probabilidade de tirar ao acaso um iogurte de morango é 1/5, de tirar um iogurte de banana é 1/3. Sabendo que há 14 iogurtes de ananás, determine quantos iogurtes há ao todo no frigorífico.
24 - Uma lata de bolachas tem 15 bolachas de chocolate e 27 sem chocolate.
(24.1) Tirei uma bolacha à sorte e comi-a. Qual a probabilidade de eu ter comido uma bolacha de chocolate?
(24.2) Depois de ter comido a 1ª bolacha, tirei uma outra. Calcule a probabilidade da 2ª bolacha ser de chocolate se:
25 - Calcule a probabilidade de, lançando ao acaso dois dados, numerados de 1 a 6 cada um, as pintas existentes nas faces voltadas para cima somem 7.
26 - Colocaram-se os cartões da figura seguinte numa caixa.
Extraíram-se simultâneamente dois dos cartões. Qual a probabilidade de obter uma das letras da palavra MO?
27 - Lançamos duas vezes uma moeda.
Qual a probabilidade de obter escudo pelo menos uma vez?
28 - Se lançar uma moeda três vezes, é mais provável obter "três lados iguais" ou "dois iguais e um diferente"?
30 - Um jogo com dados.
A Ildegarda propôs ao Pancrácio o seguinte jogo.
www.educ.fc.ul.pt
- Questão 34 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.010 ? Professor De Educação Básica Ii
Uma moeda vai ser lançada, sucessivamente, algumas vezes. Analise as seguintes afirmações: I. a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara nos três primeiros lançamentos é de 2/3. II. a probabilidade de saírem exatamente 2 caras, em qualquer ordem,...
- Exercícios Resolvidos - Probabilidades
1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.Solução:Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado,...
- Probabilidade
ExperimentoChama-se experimento uma experiência realizada ao acaso (aleatória) para a obtenção de alguma observação de seus resultados. Exemplos: No lançamento de uma moeda, observar a face voltada para cima. Retirar uma carta de um...
- Probabilidades
Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos possuem probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de um dado temos que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é 1/6. Nesses casos, calculamos a probabilidade de um evento ocorrer...
- Probabilidade
PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule...
Matemática
Probabilidade
Exercícios Resolvidos e Propostos
Apresenta-se nesta secção 3 exercícios resolvidos e uma grande quantidade de exercícios propostos. Nos exercícios propostos, são assinalados com um asterisco (*) aqueles que consideramos com um grau de dificuldade maior.Exercícios Resolvidos
- Num clube desportivo 30 meninos praticam futebol. Doze treinam para o ataque, quinze para a defesa e cinco para guarda-redes.
Qual é a probabilidade de escolhendo um desportista ao acaso ele treinar para a defesa e o ataque?
R:
Para ajudar vamos fazer um esquema:
 | 30 - 5 = 25 ...... Não treinam para guarda-redes. 12 + 15 = 27 ... Treinam para defesa ou ataque. 27 - 25 = 2 ...... Treinam para defesa e ataque.Casos favoráveis: 2 Casos possíveis: 30 Logo, P = 2/30 = 1/15 |
- Lançaram-se dois dados numerados de 1 a 6.
(a) Quantos são os acontecimentos elementares possíveis?
R: Vamos construir uma tabela.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 |
| 2 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 |
| 3 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 |
| 4 | 4,1 | 4,2 | 4,3 | 4,4 | 4,5 | 4,6 |
| 5 | 5,1 | 5,2 | 5,3 | 5,4 | 5,5 | 5,6 |
| 6 | 6,1 | 6,2 | 6,3 | 6,4 | 6,5 | 6,6 |
(b) Calcule a probabilidade de:
- sair dois 5;
- não sair o 6.
- No acontecimento "sair dois 5":
Casos possíveis: 36
Logo, P = 1/36
- No acontecimento "não sair o 6":
Casos possíveis: 36
Logo, P = 25/36
- Extrai-se ao acaso uma bola de uma caixa que contém 6 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis. Determine a probabilidade de a bola extraída ser:
(a) vermelha;
R: Temos que,
(b) vermelha ou branca;
R: Temos que,
1 - Num saco existem 10 bolas numeradas de 1 a 10.
Um indivíduo vai tirar uma bola à sorte. Calcule a probabilidade do número da bola ser:
(a) o número 7;
(b) um número par;
(c) um número maior que 10;
(d) um número menor que 4;
(e) um número natural menor que 11;
(f) não sair divisor de 10.
2 - Cartas.
Estas cartas são baralhadas e voltadas para baixo. O Carlos fecha os olhos e tira uma carta à sorte.
Calcule a probabilidade de sair:
(a) um ás;
(b) valete ou rei;
(c) não sair dama;
(d) sair carta vermelha.
*3 - Tiro ao alvo.
O Jorge e o Rui divertem-se atirando uma seta para o alvo.
O Jorge aposta que acerta na região amarela e o Rui na região laranja.
Tendo em conta que :
- todas as setas acertam no alvo;
- a probabilidade de qualquer seta atingir uma região do alvo é directamente proporcional à área da região.
a) na região amarela;(3.2) - Qual dos amigos tem maior probabilidade de ganhar?
b) na região laranja.
*4 - Um estojo contém esferográficas de três cores diferentes: azul, encarnado e verde.
Sabendo que:
P ("sair azul") = 0,6e que no estojo há 40 esferográficas, determina quantas esferográficas há de cada côr.
P ("sair encarnada") = 0,3
P ("sair verde") = 0,1
5 - Totoloto.
Dentro de uma tômbola estão 49 bolas numeradas de 1 a 49.
Para preencher uma aposta no seu boletim do totoloto o Eng. Barros começa por fazer girar a tômbola para misturar bem as bolas.
Em seguida, fez seis extracções sucessivas, sem repôr nenhuma. Qual é a probabilidade:
(a) da primeira bola ter o número 32;
(b) da segunda bola ter o número 2, se a primeira bola tinha o número 40;
(c) da terceira bola ter o número 27, se a primeira bola tinha o número 44 e a segunda bola o número 27?
6 -
Cada um destes sacos contém bolas numeradas de 1 a 7.
A experiência consiste em tirar simultâneamente e ao acaso uma bola de cada saco e anotar a soma dos número inscritos nas duas bolas.
Qual a probabilidade da soma ser:
a) 10;
b) menor que 5;
c) maior do que 14;
d) maior ou igual a 2;
e) um número par.
*7 - O Pancrácio lançou ao acaso e simultaneamente três moedas perfeitas.
Calcula a probabilidade de ocorrerem os seguintes acontecimentos:
a) A: "saída de três caras";
b) B: "saída de duas caras e um escudo";
c) C: "saída de uma só cara";
d) D: "saída de pelo menos um escudo".
8 - Num aquário estão 20 peixinhos, 5 dos quais são fêmeas. Tiramos um peixinho ao acaso.
Qual a probabilidade de sair:
a) uma fêmea?
b) um macho?
c) uma fêmea ou um escudo?
d) não ser fêmea nem macho?
9 - A turma dos Gémeos.
Há 28 alunos numa turma incluindo 2 pares de Gémeos. Qual é a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser um dos gémeos?
10 - Ursinhos de geleia.
Um pacote contém 15 ursinhos laranja, 13 amarelos e 12 verdes.
(10.1) Tirando ao acaso um dos ursinhos qual é a probabilidade de sair:
a) laranja?(10.2) Supõe que o Asterónimo tirou dois ursinhos verdes e comeu-os.
b) não sair laranja?
c) sair laranja ou verde?
Qual é a probabilidade de ele tirar um terceiro ursinho ao acaso e ser:
a) amarelo?11 - Escolhe-se, ao acaso, uma das letras da palavra
b) verde?
O T O R R I N O L A R I N G O L O G I S T A
sendo igualmente provável que saia qualquer uma delas.
a) Qual é a probabilidade de sair uma letra T?
b) Qual a letra do alfabeto que tem maior probabilidade de sair? Qual é essa probabilidade?
c) Qual a probabilidade de sair uma vogal?
12 - A moeda e o rectângulo.
Uma moeda de 1$00 é lançada ao acaso neste rectângulo.
Calcule a probabilidade do centro da moeda cair na região colorida.
*13 - A Roleta.
No jogo da roleta o jogador joga contra a banca.
Pode sair um número qualquer de zero a trinta e seis.
O zero tem côr verde.
Os outros 36 números diferentes de zero, são 18 vermelhos e 18 negros.
Se não sair nenhum dos números em que o jogador apostou, as apostas revertem para a banca.
Um jogador aposta em todos os números vermelhos.
a) Calcula a probabilidade de ganhar:
- do jogador;
- da banca.
*14 - A Lassie.
A Lassie teve 5 cachorrinhos.
(14.1) Sabendo que se pegares num cachorrinho ao acaso a P("sair macho")=0,4 determina a P("sair fêmea").
(14.2) Determina quantas fêmeas e quantos machos nasceram.
15 - Os frascos de doce.
Numa caixa estão frascos de alperce, morango e laranja.
Extrai-se ao acaso um frasco da caixa.
A probabilidade de sair doce de alperce é 1/3 e de sair doce de laranja é 1/2.
(15.1) Determina a probabilidade de sair doce de morango.
(15.2) Há 12 frascos de doce de morango. Quantos frascos há na caixa?
16 - Caramelos...
Numa taça há 9 caramelos de café.
Quantos caramelos de leite devem ser colocados dentro da taça de modo a que a probabilidade de tirar um caramelo de café seja:
a) 1?
b) 3/5?
17 - Jogam-se ao mesmo tempo um dado e duas moedas.
Qual é a probabilidade de obter um 5 e duas faces escudo?
18 - Existem três urnas que contém bolas iguais, azuis e verdes, segundo o esquema:
Escolhendo ao acaso uma urna é retirada dessa urna, ao acaso, uma bola.
Qual a probabilidade de sair azul?
*19 - De uma urna contendo três bolas brancas, duas verdes e duas azuis extraiem-se duas bolas simultâneamente. Qual a probabilidade de:
a) ambas as bolas serem azuis?
b) uma das bolas ser azul e a outra verde?
c) uma das bolas ser azul e a outra branca?
| 20 - Num quadrado, de lado 10 cm, desenhamos um triângulo de altura 8 cm e a base igual ao lado do quadrado. Supondo que lançando uma moeda ao ar, o centro da moeda caía em qualquer ponto do quadrado com a mesma probabilidade, calcule a probabilidade do centro da moeda cair na parte colorida do quadrado. |  |
Tira-se uma bola ao acaso do saco.
(2.1.1) Qual é a probabilidade de a bola ser preta?
(2.1.2) Qual é a probabilidade de a bola ser branca ou amarela?
(2.1.3) Haverá um acontecimento cuja probabilidade seja 20/18? Jusitifique.
(2.1.4) Supondo que tirávamos duas bolas ao acaso do saco, sem repôr a primeira, determine a probabilidade das duas bolas serem:
- ambas pretas;
- ambas amarelas.
*22 - Suponha que lança uma dado numerado de 1 a 6, muitas vezes: 1000 vezes ou 10.000 vezes, ou mais.
Quantas vezes espera que saia o número 3? Justifique.
23 - No frigorífico tínhamos iogurtes da mesma marca e de três sabores: morango, ananás e banana.
A probabilidade de tirar ao acaso um iogurte de morango é 1/5, de tirar um iogurte de banana é 1/3. Sabendo que há 14 iogurtes de ananás, determine quantos iogurtes há ao todo no frigorífico.
24 - Uma lata de bolachas tem 15 bolachas de chocolate e 27 sem chocolate.
(24.1) Tirei uma bolacha à sorte e comi-a. Qual a probabilidade de eu ter comido uma bolacha de chocolate?
(24.2) Depois de ter comido a 1ª bolacha, tirei uma outra. Calcule a probabilidade da 2ª bolacha ser de chocolate se:
- a primeira era de chocolate;
- a primeira não era de chocolate.
25 - Calcule a probabilidade de, lançando ao acaso dois dados, numerados de 1 a 6 cada um, as pintas existentes nas faces voltadas para cima somem 7.
26 - Colocaram-se os cartões da figura seguinte numa caixa.
Extraíram-se simultâneamente dois dos cartões. Qual a probabilidade de obter uma das letras da palavra MO?
27 - Lançamos duas vezes uma moeda.
Qual a probabilidade de obter escudo pelo menos uma vez?
28 - Se lançar uma moeda três vezes, é mais provável obter "três lados iguais" ou "dois iguais e um diferente"?
| 29 - O Pompeu foi a um restaurante que tinha para esse dia a ementa apresentada ao lado. Vai escolher uma entrada, um prato (peixe ou carne) e uma sobremesa.(29.1) Quantas refeições diferentes pode escolher? (29.2) Se escolhermos ao acaso uma dessas refeições possíveis, qual é a probabilidade das sardinhas assadas fazerem parte da refeição? (29.3) O Pompeu gosta muito de mousse e portanto já decidiu o que vai comer à sobremesa. Qual é a probabilidade do Pompeu ir comer cabrito assado? |  |
A Ildegarda propôs ao Pancrácio o seguinte jogo.
- Atiram 20 vezes dois dados ao ar e anotam o produto dos pontos das faces superiores;
- Se o produto é um número par, a Ildegarda ganha 1 ponto;
caso contrário, o Pancrácio ganha 1 ponto; - O vencedor será o que tiver maior pontuação no final dos 20 lançamentos.
www.educ.fc.ul.pt
- Questão 34 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.010 ? Professor De Educação Básica Ii
Uma moeda vai ser lançada, sucessivamente, algumas vezes. Analise as seguintes afirmações: I. a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 cara nos três primeiros lançamentos é de 2/3. II. a probabilidade de saírem exatamente 2 caras, em qualquer ordem,...
- Exercícios Resolvidos - Probabilidades
1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.Solução:Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado,...
- Probabilidade
ExperimentoChama-se experimento uma experiência realizada ao acaso (aleatória) para a obtenção de alguma observação de seus resultados. Exemplos: No lançamento de uma moeda, observar a face voltada para cima. Retirar uma carta de um...
- Probabilidades
Nos espaços amostrais equiprováveis temos que os eventos possuem probabilidades iguais de ocorrência. No lançamento de um dado temos que a ocorrência de cada face é a mesma, isto é 1/6. Nesses casos, calculamos a probabilidade de um evento ocorrer...
- Probabilidade
PROBABILIDADE A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule...