Matemática
DEFINÇÃO
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2.
Podemos, então, dizer que:
Progressão aritmética é a sequência de números onde, a partir do primeiro termo,todos são obtidos somando uma constante chamada razão.
São exemplos de PA:
• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5
• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Notação
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an)
Onde:
a1= primeiro termo
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo
n = número de termos( se for uma PA finita )
r = razão
Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)
a1 = 5
an = a6 = 25
n = 6
r = 4
Classificação
QUANTO A RAZAO:
• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.
Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente
• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
Toda PA de razão negativa é decrescente.
• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária.
QUANTO AO NÚMERO DE TERMOS:
• • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10.
Toda PA de n° de termos finito é limitada.
• • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2
Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.
PROPRIEDADES
P1:Três termos consecutivos
Numa PA, qualquer termo,a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.
Exemplo:
Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:
4 + 12/ 2 = 8
8 + 16 / 2 = 12
20 + 28 / 2 = 24
P2: Termo Médio
Numa PA de números impares nos dois extremos, o termo do meio (médio)é a média artmética do primeiro termos e do ultimo
Exemplo:
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.
3 + 21 / 2 = 12
P3: Termos Eqüidistantes
A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos
Exemplo:
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).
7 e 3
11 e 23 são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31
15 e 19
Termo Geral
Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)
PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )
Portanto, o termo geral será:
an= a1+(n-1)r
Exercícios Resolvidos
1. 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...).
Resolução:
a1=3
a2=9
r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6
(a1, a2, a3, a4,... )
Então:
a4 = a1 + r + r + r
a4 = a1 + 3r
a4 = 3 + 3.6
a4 = 3+18
a4 = 21
com a formula do termo geral:
an = a1 + (n - 1 ) r
a4= 3 + (4 - 1) 6
a4 = 3 + 3.6
a4 = 9 + 18
a4 = 21
2. 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3.
Resolução:
a3 = 8
r = -3
(a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... )
Então:
a8 = a3 + r + r + r + r + r
a8 = a3 + 5r
a8 = 8 + 5.-3
a8 = 8 - 15
a8 = - 7
com a formula do termo geral :
an = a1 + (n -1)r
a8 = 15 + ( 8 -1) . (-3) --como a razão é negativa a PA é decrescente sendo a1 = 15
a8 = 15 + (-21)
a8 = -7
3. 3. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18.
Resolução:
Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que:
a1 = 2
an = a5 = 18
n = 2 + 3 = 5
Para interpolarmos os três termos devemos determinar primeiramente a razão da PA. Então:
a5 = a1 + r + r + r + r
a5 = a1 + 4r
18 = 2 + 4r
16 = 4r
r = 16/4
r = 4
Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18)
Soma dos Termos de uma PA finita
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20).
Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe:
a1+a10 = 2 + 20 = 22
a2+a9 = 4 + 18 = 22
a3+a8 = 6 + 16 = 22
a4+a7 =8 + 14 = 22
a5+a6 = 10 + 12 = 22
Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ).
E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como faríamos?
Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050.
Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:
sn=(a1 + an)n/2
Exercícios Resolvidos
1. 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...).
Resolução:
a1 = 2
r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50):
a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198
Aplicando a fórmula temos:
S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000
2. 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?
Resolução:
PA = (20, 17,14,...)
a1 = 20
r = a2 – a1 = 17 - 20 = -3
Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an (ou seja, a5):
a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8
Aplicando a fórmula temos:
S5 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70
Logo ele percorreu em 5 horas 70 km.
EXERCICIOS
1) Qual é o décimo quinto termo da PA (4, 10......)? (R:88)
2) Qual é o centésimo número natural par? (R:198)
3) Ache o sexagésimo número natural ímpar (R:119)
4) Numa PA de razão 5 o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44? (R:9ª)
5) Calcule o numero de termos da PA(5,10.....785) (R:157)
6) Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....)(R:-4360)
7) Numa progressão aritmética, a19=70 e a razão é 7 determine:
---a)O primeiro termo (R:-56)
---b)O décimo termo (R:7)
---c)A soma dos 20 primeiros termos (R:210)
8) O vigésimo termo da Progressão Aritmética , 3, 8, 13, 18 .é
obs: dados an= a1 + (n - 1)r
a) 63
b) 74
c) 87
d) 98 (X)
e) 104
9)Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) então o valor de x é
a) -16 (X)b) -14
c) -18
d) -12
e) -20
10) Achar o 14º termo da PA (3,10,17,.....)(R:94)
11) Escrever os três primeiros termos de uma PA de razão 2, sabendo que a32 =79 (R:17,19,21)
12)Determine a localização do número 22 na PA (82,76,70,....) (R:11)
13) Os termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) são x; 10; 12. Podemos concluir que x vale
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8 (X)
- Pa E Pg
Exercícios com PA e PG 1. Calcule a razão da P.G. onde a1 = e a8 = 48. 2. Em uma P.G. crescente tem-se a2 = 576. Calcule a razão e o 1º termo. 3. Sabendo que em uma P.G. a2 + a4 = 60 e a3 + a5 = 180, calcule a6 . 4. Somando o 1º termo com...
- ProgressÃo Geometrica
Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão. • Seja a seqüência:...
- Sequências Pa
CLASSIFICAÇÃO Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em: 1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva. Exemplo: (4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva) 2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa....
- Progressão Aritmetica
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. (5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos...
- Progressão Aritmética
Marcos Noé P.AA sequência numérica que envolve números reais em que a partir do 2º elemento a diferença entre qualquer termo e seu antecessor seja um número constante recebe o nome de Progressão Aritmética...
Matemática
PROGRESSÃO ARITIMÉTICA
DEFINÇÃO
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16).
Observamos que, a partir do segundo termo, a diferença entre qualquer termo e seu antecessor é sempre a mesma:
4 – 2 = 6 – 4 = 10 – 8 = 14 – 12 = 16 – 14 = 2
Seqüências como esta são denominadas progressões aritméticas (PA).A diferença constante é chamada de razão da progressão e costuma ser representada por r. Na PA dada temos r = 2.
Podemos, então, dizer que:
Progressão aritmética é a sequência de números onde, a partir do primeiro termo,todos são obtidos somando uma constante chamada razão.
São exemplos de PA:
• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5
• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Notação
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an)
Onde:
a1= primeiro termo
an = último termo, termo geral ou n-ésimo termo
n = número de termos( se for uma PA finita )
r = razão
Exemplo: PA (5, 9, 13, 17, 21, 25)
a1 = 5
an = a6 = 25
n = 6
r = 4
Classificação
QUANTO A RAZAO:
• • (5, 10, 15, 20, 25, 30) é uma PA de razão r = 5.
Toda PA de razão positiva ( r > 0 ) é crescente
• • (12, 9, 6, 3, 0, -3) é uma PA de razão r = -3
Toda PA de razão negativa é decrescente.
• • (2, 2, 2, 2, 2,...) é uma PA de razão r = 0
Toda PA de razão nula ( r = 0 ) é constante ou estacionária.
QUANTO AO NÚMERO DE TERMOS:
• • (5, 15, 25, 35, 45, 55) é uma PA de 6 termos e razão r = 10.
Toda PA de n° de termos finito é limitada.
• • (12, 10, 8, 6, 4, 2,...) é uma PA de infinitos termos e razão r = -2
Toda PA de n° de termos infinito é ilimitada.
PROPRIEDADES
P1:Três termos consecutivos
Numa PA, qualquer termo,a partir do segundo, é a média aritmética do seu antecessor e do seu sucessor.
Exemplo:
Consideremos a PA(4, 8, 12, 16, 20, 24, 28) e escolhamos três termos consecutivos quaisquer: 4, 8, 12 ou 8, 12, 16 ou ... 20, 24, 28.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética dos outros dois termos:
4 + 12/ 2 = 8
8 + 16 / 2 = 12
20 + 28 / 2 = 24
P2: Termo Médio
Numa PA de números impares nos dois extremos, o termo do meio (médio)é a média artmética do primeiro termos e do ultimo
Exemplo:
Consideremos a PA(3, 6, 9, 12, 15, 18, 21) e o termo médio é 12.
Observemos que o termo médio é sempre a média aritmética do primeiro e do último.
3 + 21 / 2 = 12
P3: Termos Eqüidistantes
A soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma PA finita é igual à soma dos extremos
Exemplo:
Consideremos a PA(3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31).
7 e 3
11 e 23 são os termos eqüidistantes dos extremos 3 e 31
15 e 19
Termo Geral
Aplicando a definição de PA, podemos escrevê-la de uma outra forma:
PA( a1, a2, a3, a4, ...., an-1 ,an)
PA( a1, a1+ r, a1+ 2r, a1+ 3r, a1+ 4r, ..., a1+ (n-1)r )
Portanto, o termo geral será:
an= a1+(n-1)r
Exercícios Resolvidos
1. 1. Determine o quarto termo da PA(3, 9, 15,...).
Resolução:
a1=3
a2=9
r = a2 - a1 = 9 – 3 = 6
(a1, a2, a3, a4,... )
Então:
a4 = a1 + r + r + r
a4 = a1 + 3r
a4 = 3 + 3.6
a4 = 3+18
a4 = 21
com a formula do termo geral:
an = a1 + (n - 1 ) r
a4= 3 + (4 - 1) 6
a4 = 3 + 3.6
a4 = 9 + 18
a4 = 21
2. 2. Determine o oitavo termo da PA na qual a3 = 8 e r = -3.
Resolução:
a3 = 8
r = -3
(a1, ...,a3, a4, a5, a6, a7, a8,... )
Então:
a8 = a3 + r + r + r + r + r
a8 = a3 + 5r
a8 = 8 + 5.-3
a8 = 8 - 15
a8 = - 7
com a formula do termo geral :
an = a1 + (n -1)r
a8 = 15 + ( 8 -1) . (-3) --como a razão é negativa a PA é decrescente sendo a1 = 15
a8 = 15 + (-21)
a8 = -7
3. 3. Interpole 3 meios aritméticos entre 2 e 18.
Resolução:
Devemos formar a PA(2, ___, ___, ___, 18), em que:
a1 = 2
an = a5 = 18
n = 2 + 3 = 5
Para interpolarmos os três termos devemos determinar primeiramente a razão da PA. Então:
a5 = a1 + r + r + r + r
a5 = a1 + 4r
18 = 2 + 4r
16 = 4r
r = 16/4
r = 4
Logo temos a PA(2, 6, 10, 14, 18)
Soma dos Termos de uma PA finita
Consideremos a seqüência ( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20).
Trata-se de uma PA de razão 2. Suponhamos que se queira calcular a soma dos termos dessa seqüência, isto é, a soma dos 10 termos da PA(2, 4, 6, 8, ..., 18,20).
Poderíamos obter esta soma manualmente, ou seja, 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =110. Mas se tivéssemos de somar 100, 200, 500 ou 1000 termos? Manualmente seria muito demorado. Por isso precisamos de um modo mais prático para somarmos os termos de uma PA. Na PA( 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20) observe:
a1+a10 = 2 + 20 = 22
a2+a9 = 4 + 18 = 22
a3+a8 = 6 + 16 = 22
a4+a7 =8 + 14 = 22
a5+a6 = 10 + 12 = 22
Note, que a soma dos termos eqüidistantes é constante ( sempre 22 ) e apareceu exatamente 5 vezes (metade do número de termos da PA, porque somamos os termos dois a dois). Logo devemos ao invés de somarmos termo a termo, fazermos apenas 5 x 22 = 110, e assim, determinamos S10 = 110 ( soma dos 10 termos ).
E agora se fosse uma progressão de 100 termos como a PA(1, 2, 3, 4,...,100), Como faríamos?
Procederemos do mesmo modo. A soma do a1 com a100 vale 101 e esta soma vai se repetir 50 vezes(metade de 100), portanto S100 = 101x50 = 5050.
Então para calcular a soma dos n termos de uma PA somamos o primeiro com o último termo e esta soma irá se repetir n/2 vezes. Assim podemos escrever:
sn=(a1 + an)n/2
Exercícios Resolvidos
1. 1. Calcule a soma dos 50 primeiros termos da PA(2, 6, 10,...).
Resolução:
a1 = 2
r = a2 – a1 = 6 – 2 = 4
Para podemos achar a soma devemos determinar o an(ou seja, a50):
a50 = a1 + 49r = 2 + 49.4 = 2 + 196 = 198
Aplicando a fórmula temos:
S50 = (a1+an).n/2 = (2+198).50/2 = 200.25=5000
2. 2. Um ciclista percorre 20 km na primeira hora, 17 km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas?
Resolução:
PA = (20, 17,14,...)
a1 = 20
r = a2 – a1 = 17 - 20 = -3
Para podemos achar quantos quilômetros ele percorrerá em 5 horas devemos somas os 5 primeiros termos da PA e para isto precisamos do an (ou seja, a5):
a5 = a1 + 4r = 20 + 4.-3 = 20 - 12 = 8
Aplicando a fórmula temos:
S5 = (a1+an).n/2 = (20+8).5/2 = 14.5 = 70
Logo ele percorreu em 5 horas 70 km.
EXERCICIOS
1) Qual é o décimo quinto termo da PA (4, 10......)? (R:88)
2) Qual é o centésimo número natural par? (R:198)
3) Ache o sexagésimo número natural ímpar (R:119)
4) Numa PA de razão 5 o primeiro termo é 4. Qual é a posição do termo igual a 44? (R:9ª)
5) Calcule o numero de termos da PA(5,10.....785) (R:157)
6) Ache a soma dos quarenta primeiros termos da PA(8, 2....)(R:-4360)
7) Numa progressão aritmética, a19=70 e a razão é 7 determine:
---a)O primeiro termo (R:-56)
---b)O décimo termo (R:7)
---c)A soma dos 20 primeiros termos (R:210)
8) O vigésimo termo da Progressão Aritmética , 3, 8, 13, 18 .é
obs: dados an= a1 + (n - 1)r
a) 63
b) 74
c) 87
d) 98 (X)
e) 104
9)Se x, x + 5, -6 são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) então o valor de x é
a) -16 (X)b) -14
c) -18
d) -12
e) -20
10) Achar o 14º termo da PA (3,10,17,.....)(R:94)
11) Escrever os três primeiros termos de uma PA de razão 2, sabendo que a32 =79 (R:17,19,21)
12)Determine a localização do número 22 na PA (82,76,70,....) (R:11)
13) Os termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) são x; 10; 12. Podemos concluir que x vale
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8 (X)
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- Pa E Pg
Exercícios com PA e PG 1. Calcule a razão da P.G. onde a1 = e a8 = 48. 2. Em uma P.G. crescente tem-se a2 = 576. Calcule a razão e o 1º termo. 3. Sabendo que em uma P.G. a2 + a4 = 60 e a3 + a5 = 180, calcule a6 . 4. Somando o 1º termo com...
- ProgressÃo Geometrica
Progressão Geométrica (PG) é toda seqüência de números não nulos na qual é constante o quociente da divisão de cada termo (a partir do segundo) pelo termo anterior, esse quociente é chamado de razão (q) da progressão. • Seja a seqüência:...
- Sequências Pa
CLASSIFICAÇÃO Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em: 1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva. Exemplo: (4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva) 2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa....
- Progressão Aritmetica
Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante. (5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos...
- Progressão Aritmética
Marcos Noé P.AA sequência numérica que envolve números reais em que a partir do 2º elemento a diferença entre qualquer termo e seu antecessor seja um número constante recebe o nome de Progressão Aritmética...