Quantos Números Primos Existem?
Por: Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá)
Euclides demonstrou que existem infinitos primos. A demonstração de Euclides é muito simples, se não, vejamos:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam p1, p2, p3, ..., pn primos. Seja P um número tal que:
Se P for um número primo, é necessariamente diferente dos primos p1, p2, p3, ..., pn, pois sua divisão por qualquer um deles tem resto 1. Em contrapartida, se P é composto, na fatoração de P existe um número primo q tal que q > pn. Logo existe um novo número primo.
Exemplos numéricos:
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Podemos fatorar o número 30031:
Como os números 59 e 509 são os fatores primos do número 30031, logo, além do número primo pn = 13, existem mais dois novos números primos q e p1, tais que:
Quando vi a palavra “fatoração” e a expressão “fatores primos” na demonstração de Euclides, veio-me a ideia de tentar dar uma demonstração usando fatoração e os fatores primos de um número inteiro. Quando digo “tentar dar uma demonstração”, é porque ainda não tenho certeza se na minha demonstração existe alguma falha.
Deixo uma advertência: já que seria, até impossível, consultar todos os livros de teoria dos números publicados, por autores brasileiros e estrangeiros, e como já houve casos, na história da Matemática, de dois matemáticos morando em países diferentes fazerem demonstrações idênticas, logo, se por acaso alguma demonstração idêntica a minha já foi publicada por algum matemático, brasileiro ou estrangeiro, é mera coincidência.
Demonstração da Infinidade de Números Primos
Seja x > 1 um número inteiro. O sucessor de x é x + 1. Como x e x + 1 são primos entre si, logo, x(x + 1) tem no mínimo dois fatores primos distintos.
Exemplo:
O sucessor de x(x + 1) é x(x + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio anterior, x(x + 1) + 1 e x(x + 1) são primos entre si. Multiplicando os dois números, temos:
Como um de seus fatores tem pelo menos dois fatores primos, logo, o produto dos dois tem pelo menos três fatores primos distintos.
Exemplo:
Como o processo multiplicativo pode ser repetido indefinidamente, e já que o n-ésimo produto terá no mínimo n-ésimo + 1 fatores primos distintos, logo, há infinitos números primos.
Este artigo foi cedido gentilmente por Sebastião Vieira do Nascimento (Sebá). Professor Titular (por concurso) aposentado da UFCG – PB.
Veja mais:
A Demonstração de Euclides Sobre a Existência de Infinitos Números Primos
Construindo uma Sequência de Números Não-Primos
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