Matemática

Questão 26 ? Vestibulinho ETEC ? 1° Semestre de 2.014

Um grande círculo azul escuro no meio do mar turquesa do Caribe atrai mergulhadores e turistas do mundo todo para Belize, na América Central.

O Great Blue Hole (Grande Buraco Azul) é uma caverna submersa com estalactites cercadas de animais marinhos de várias espécies, como arraias, peixes-papagaios e peixes-borboletas.

Localizado no Atol de Recifes Lighthouse, a cerca de 50 milhas a leste de Belize, o buraco é um círculo quase perfeito de cerca de 300 metros de diâmetro e 125 metros de profundidade, podendo ser visto inclusive do espaço.

(g1.globo.com/turismo-e-viagem/noticia/2012/12/grande-buraco-azul-no-meio-do-mar-e-paraiso-do-mergulhono-caribe.html Acesso em: 23.08.2013. Adaptado)

Great Blue Hole (Foto: U.S. Geological Survey)

A circunferência da figura é uma representação esquemática do Grande Buraco Azul em que:

o ponto O é o centro da circunferência;
o segmento AB é um diâmetro da circunferência;
os pontos C e D pertencem à circunferência;
as retas AB e CD são paralelas;
o ponto E pertence à corda CD; e
as retas AB e OE e são perpendiculares.

Nessas condições, admitindo-se que a medida da corda seja 240 m, então a medida do segmento será, em metros,

(A) 93.
(B) 90.
(C) 87.
(D) 84.
(E) 81.
Fonte: http://www.vestibulinhoetec.com.br/provas-gabaritos/

Solução: (Anulada)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

É uma pena terem se esquecido de definir qual segmento deveria ser calculado, entretanto tudo indica que seja o segmento OE. A questão é bem interessante.

Corda é o nome dado a qualquer segmento de reta que se inicia e se finda na circunferência.

Na figura se construirmos o segmento OC e o segmento OD, temos o triângulo CDO. Um fato interessante é que o ponto C pertence a circunferência, então o segmento OC tem medida igual ao raio desta circunferência. O mesmo fato ocorre com o ponto D (vide Figura 1).

Figura 1: Análise dos dados do enunciado.

Portanto o segmento OC e o segmento OD são congruentes (iguais). O triângulo que apresenta medidas de lados iguais é chamado de triângulo isóscele.

O segmento OE é perpendicular a corda CD, portanto, pelas características do triângulo isóscele, o segmento OE é a altura do triângulo CDO, sendo que o ponto E é o ponto médio da corda CD.

2° ? Estabelecimento de um Plano

Termos então que calcular a altura do triângulo isóscele CDO. Para isto consideramos o triângulo retângulo CEO, reto no ponto E (vide Figura 2).

Figura 2: Triângulo retângulo CEO, reto no ponto E.

Para calcular o segmento OE (um dos catetos) utilizamos o Teorema de Pitágoras, sendo a medida do segmento CE (um dos cateto) igual a 120 metros e a medida do segmento OC (a hipotenusa) igual a 150 metros.

3° ? Execução do Plano

Determinando a medida do segmento OE:

OC²= CE² + OE²

OE²= OC² ? CE²

OE = ? ( OC² ? CE²) = ? ( 150² ? 120² ) = ? ( 22500 ? 14400 ) =

= ?8100

Fatorando 8100 para determinar a raiz quadrada:

8100 4050 2025 675 225 75 25 5	2 (unidade=0 divisível por 2) 2 (unidade=0 divisível por 2) 3 (2+0+2+5=9 divisível por 3) 3 (6+7+5=18?1+8=9 divisível por 3) 3 (2+2+5=9 divisível por 3) 3 (7+5=12?1+2=3 divisível por 3) 5 (unidade=5 divisível por 5) 5 (unidade=5 divisível por 5)
1

Portanto 8100 = 2²· 3⁴· 5²

?8100 = ?(2²·3⁴·5²) =?2² · ?3⁴ · ?5² = 2 · 3²· 5 = 90 metros

4° ? Avaliação

Para a resolução desta questão é necessário um conhecimento sobre conceito de geometria e de desenho geométrico. Infelizmente um erro causou a anulação.

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