Matemática

Questão 35 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II

A medida do ângulo interno de um octógono regular é

(A) 45°.

(B) 60°

(D) 120°.

(E) 135°.

Solução: (E)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

O octógono regular (vide Figura 1) é o polígono que apresenta oito lados congruentes. No polígono regular, quanto maior o número de lados, maior a medida dos ângulos internos.

Figura 1: Octógono regular e indicação de um ângulo interno.

Considerando as diagonais traçadas de vértice o vértice oposto de um polígono regular, é possível perceber que elas formam triângulos isósceles (vide Figura 2) e no caso desta questão temos oito triângulos isósceles.

Figura 2: Divisão do octógono regular em triângulos isósceles congruentes.

Observe que os triângulos estão alinhados com o mesmo vértice ao centro do polígono, que neste caso não é um dos ângulos congruentes, visto que é oposto ao lado não congruente do triângulo isoscele (vide Figura 3). A soma destes ângulos é 360º, visto que representa uma volta completa (vide Figura 4).

Figura 3: Análise da posição dos triângulos isósceles quanto a posição
dos seus ângulos internos.

Figura 4: Soma dos ângulos é igual a 360°.

2° ? Estabelecimento de um Plano

Então se a soma dos ângulos que estão alinhados no lado interno do polígono é 360°, ao se dividir 360° pelo número de triângulos obtemos o valor de um dos três ângulos interno do triângulo isóscele.

Com esta informação podemos determinar o valor dos outros dois ângulos, que no caso do triângulo isóscele, são congruentes.

3° ? Execução do Plano

Calculando um dos ângulos do triângulo isóscele:

360/ 8 = 45°

Se a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo é 180°, e no triângulo isóscele temos dois ângulos (x) iguais, então:

180° = 2 . x + 45° ? x = 67,5°

Mas observe que o enunciado pede o ângulo interno do octógono, e que pela Figura 5 podemos observar que este ângulo é igual ao dobro de 67,5°, logo é igual a 135°.

Figura 5: Angulo interno do octógono em relação ao
angulo interno do triângulo isóscele.

4° ? Avaliação

Outra forma de resolver esta questão é utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono:

S_i = (n ? 2) · 180°

Onde S_i é a soma dos ângulos internos e n é o numero de lados do polígono. Ao se dividir S_i por n obtemos o valor do ângulo interno (A_interno) do polígono:

A_interno= [(n ? 2) · 180°] / n

Para o octógono (n = 8) temos:

A_interno= [(8 ? 2) · 180°] / 8 = 135°

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