Questão 36 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II
Matemática

Questão 36 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II


O professor de matemática do 9.º ano de uma escola propôs a seguinte situação aos seus alunos:

O gráfico a seguir mostra a posição d (em Km) de um automóvel em relação ao marco zero de uma estrada. 


No instante da partida, instante t = 0, o automóvel está a 10 km desse marco; 2,5 minutos depois ele está na posição d = 15 km.
  
Apresente, pelo menos, uma conclusão a respeito desses dados.

Para trabalhar as concepções dos alunos, o professor escolheu a resposta de cinco deles:


Os dois únicos alunos que apresentaram corretamente sua conclusão foram:

(A) Marta e Marcelo.
(B) Júlio e Marcelo.
(C) Júlio e Marta.
(D) Norma e Júlio.
(E) Marcos e Júlio.

Solução: (A)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

Considerando os dados do enunciado proposto pelo professor realizamos uma análise da mesma forma que os alunos.

O gráfico é uma reta logo é uma função do primeiro grau, sendo o marco (d) dado em função do tempo (t), portanto é uma função do tipo: d(t) = a · t + b, a inclinação da reta indica que se trata de uma função crescente logo a > 0.

Os dados do enunciado permitem determinar a função d (t).

A função do primeiro grau, em alguns caso, relaciona-se aos conceitos envolvendo grandezas diretamente proporcionais.
  
2° ? Estabelecimento de um Plano

Determinamos inicialmente a função d (t), verificar se existe a relação com conceitos de grandezas diretamente proporcionais e posteriormente realizamos uma análise de das umas das afirmações dada por cada aluno.

3° ? Execução do Plano

Obtendo a função d(t):

Segundo o gráfico para d (0) = 10 e d (5) = 20, então:

d (t) = a · t + b

d (0) = 10 ? 10 = a · 0 + b ? 10 = b

d (t) = a · t + 10

d (5) = 20 ? 20 = a · 5 + 10 ? 2 = a

d (t) = 2 · t + 10

Analisando a função d (t), podemos observar que não se relaciona com grandezas diretamente proporcionais, visto que quando aumentamos o tempo a distancia não aumenta de forma proporcional, ou seja, se dobramos o tempo a distancia não dobra.

Observe:

d (1) = 2 · 1 + 10 = 12 km

d (2) = 2 · 2 + 10 = 14 km (dobro do tempo, mas não o dobro da distância)

d (3) = 2 · 3 + 10 = 16 km (triplo do tempo, mas não o triplo da distância)

Analisando a afirmação de cada aluno:

Marcos: a relação entre a posição de o tempo t pode ser expressa pela sentença: d = 10 + 2,5t, em que d é expresso em km e tem minutos: Incorreto, como vimos a função é expressa por outra sentença.

Norma: a relação entre a posição d e o tempo t pode ser expressa pela sentença: d = 2,5 + 5t, em que d é expresso em km e tem minutos: Incorreto, como vimos a função é expressa por outra sentença.

Júlio: A posição d e o tempo t são diretamente proporcionais, pois quanto maior for o valor de t maior é o valor de d: Incorreto, como vimos apesar da distância aumentar conforme aumenta o tempo, este aumento não ocorre de maneira proporcional.

Marta: No instante t = 8,75 min o automóvel está na posição d = 27,5 km: Correto, observe:

d (8,75) = 2 · (8,75) + 10 = 17,5 + 10 = 27,5 km

Marcelo: para se deslocar 20 km, o automóvel levou 10 min: Correto, ao deslocar 20 km ele passou, por exemplo, da posição 10 km no tempo t = 0 min para a posição 30 km para t = 10 min.

4° ? Avaliação

Sabemos que o gráfico envolvendo grandezas diretamente proporcionais é uma reta que passa pela origem, ou seja, na função f (x) = a · x + b, temos b = 0.

Na afirmação do Marcelo podemos considerar o seguinte: para a posição inicial d = 25 km, temos t = 7,5. Se tivermos um deslocamento de 20 km, o automóvel passa da posição de 25 km para a posição de 25 km + 20 km = 45 km.

d (t) = 45 km

d (t) = 2 · t + 10 ? 45 = 2 · t + 10 ? t = 17,5 min

Podemos observar que o automóvel demorou 10 min para percorrer os 20 km , o mesmo ocorre se considerarmos outras distancias e tempos como ponto inicial e deslocando 20 km. 





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