Questão 4 ? Professor de Matemática ? SEAP ? Paraná? 2.013
Matemática

Questão 4 ? Professor de Matemática ? SEAP ? Paraná? 2.013


O matemático, filósofo e médico Girolamo Cardano (1501?1576) publicou em 1545, na obra de sua autoria nominada de Ars Magna, a fórmula resolutiva de uma equação do terceiro grau que estivesse escrita na forma x3 + px + q = 0 em que p e q são números reais. Essa fórmula era desconhecida até Cardano publicá-la. Rafael Bombelli (1526?1573), em 1572, ao usar a fórmula proposta por Cardano, resolveu a equação x3 ? 15x ? 4 = 0 e obteve 3 raízes. Uma dessas raízes é:

A) 2 ?  ?2
B) 3 + ?2
C) 2 ? ?3
D) ? 2 ? ?3
E) ? 3 + ?2

Solução: (D)

No volume 3 do caderno do aluno (3° ano do ensino médio) adotado pela SEE / SP problema é apresentado da seguinte forma:

?Um marceneiro quer construir duas caixas, uma com a forma de um cubo de aresta x, outra com a forma de um paralelepípedo com a base retangular, de lados 3 m e 5 m, e de altura igual à altura do cubo. O valor de x deve ser escolhido de tal maneira que o volume do cubo seja 4 m3 maior do que o do paralelepípedo?.

Para quem gosta de História da Matemática conhece o caso envolvendo Niccolo Tartaglia e Girolano Cardano. Da mesma forma sabemos que Rafael Bombelli determinou que 4 é uma das raízes da equação x3 ? 15 ? x ? 4 = 0, logo:

43 ? 15 ? 4 ? 4 = 64 ? 60 ? 4 = 64 ? 64 = 0

Então o polinômio x3 ? 15 ? x ? 4 é divisível por (x ? 4).

O quociente desta divisão é o polinômio x2 + 4 ? x + 1 , cujas raízes são também raízes do polinômio x3 ? 15 ? x ? 4.

Calculando as raízes da equação x2 + 4 ? x + 1 = 0, obtemos x? = ? 2 + ?3 e x?? = ? 2 ? ?3.

Então a solução da questão é (D) ? 2 ? ?3.

Agora se você não é muito fã da História da Matemática e não tem estes conhecimentos se prepare papel, borracha e lápis para uma jornada no mundo dos teoremas e cálculos algébricos!

(1° Método)

Aplicando as Relações de Girard. Sabemos que uma equação do tipo:

a ? x3 + b ? x2 + c ? x + d = 0 ? x3 + (b / a) ? x2 + (c / a) ? x + (d / a) = 0

Pode ser fatorada e escrita na forma:

(x ? x1) ? (x ? x2) ? (x ? x3) = 0

Sendo x1 , x2 , x3 as raízes desta equação.

Efetuando as multiplicações indicadas em (x ? x1) ? (x ? x2) ? (x ? x3) = 0

(x2 ? x2 ? x ? x1 ? x + x1 ? x2) ? (x ? x3) = 0

x3 ? x3 ? x2 ? x2 ? x2 +  x2 ? x3 ? x ? x1 ? x2 +  x1 ? x3 ? x + x1 ? x2 ? x ? x1 ? x2 ? x3 = 0

x3 ? (x1 + x2 + x3) ? x2 + (x1 ? x2 +  x1 ? x3 + x2 ? x3) ? x ? x1 ? x2 ? x3 = 0

Considerando

S1 = x1 + x2 + x3

S2 = x1 ? x2 + x1 ? x3 + x2 ? x3

S3 = x1 ? x2 ? x3

x3 ? S1 ? x2 + S2 ? x ? S3 = 0

x3 ? 15 ? x ? 4 = 0 ? x3 ? 0 ? x2 + (? 15) ? x ? 4 = 0

S1 = x1 + x2 + x3 = 0

S2 = x1 ? x2 + x1 ? x3 + x2 ? x3 = ? 15

S3 = x1 ? x2 ? x3 = 4

Analisando

(1) S3 é o produto de três raízes então os divisores de 4 são possíveis raízes da equação. Os divisores de 4 são ± 1 , ± 2 e ±4. Observe que nenhuma das raízes pode ser nula.

(2) Se a equação tiver duas raízes simétricas, podemos obter a terceira raiz analisando S1. Sabemos que a soma de dois números simétricos é nula, então supondo que:

x1 + x2 = 0

S1 = x1 + x2 + x3 = 0 ? x3 = x1 + x2

(3) Se a equação tiver duas raízes inversas, podemos obter a terceira raiz. Sabemos que o produto de um números pelo seu inverso é igual a 1.

x1 ? x2 = 1

S3 = x1 ? x2 ? x3 = 4 ? S3 = 1 ? x3 = 4 ? x3 = 4

Se 4 é raiz desta equação então o polinômio x3 ? 15 ? x ? 4 = 0 é divisível por (x ? 4) e se é divisível o resto é nulo.

Aplicando o Teorema do Resto para verificar este fato e reduzir os cálculos. 

Teorema do Resto: O resto obtido na divisão de f(x) por (x ? c) é igual ao valor numérico do polinômio f(x) para x = c, ou seja, f(c).

P(x) = x3 ? 15 ? x ? 4 ? P(4) = 43 ? 15 ? 4 ? 4 = 0

Então 4 é raiz desta equação. Calculando as raízes da equação x2 + 4 ? x + 1 [o quociente de P(x) por (x ? 4)], obtemos as outras raízes de P(x) : x? = ? 2 + ?3 e x?? = ? 2 ? ?3.

Então a solução da questão é (D) ? 2 ? ?3.

(2° Método)

Teorema: toda equação polinomial de grau impar e que os coeficientes são números reais tem, pelo menos, uma raiz real.

Podemos encontrar a raiz real, por meio do Teorema de Gauss.

Teorema de Gauss: Dada a equação polinomial de P(x) de grau ?n? :

P(x) = a0 ? xn + a1 ? xn-1 + a2 ? xn-2 + ... + an-1 ? x + an = 0

Com a0 ? 0 e an ? 0. Se esta equação admite uma raiz raciona xr , esta será na forma de

xr = p / q

Onde p e q são números inteiros e primo entre si, verificando-se assim que:

p = divisor do termo independente de P(x) ? an

q = divisor do coeficiente principal de P(x) ? a0

Deste modo tanto p como q geram dois conjuntos de números que devem ser escolhidos de forma que sejam primos entre si [Máximo Divisor Comum ? m.d.c. (p, q) = 1].

A raiz xr são todas as combinações dos divisores encontrados.

Para a equação P(x) = x3 ? 15 ? x ? 4, temos an = ? 4 e  a0 = 1.

p = D(4) = {±1 , ±2 , ±4} e q = D(1) = {±1}

Calculando os valores de xr obtemos

xr = {? 4 , ? 2 , ? 1, 1 , 2 , 4}

Temos, portanto seis raízes para verificar, se P(x) é divisíveis por (x ? xr). Realizando os cálculos descobriremos que P(x) é divisível apenas por (x ? 4) logo 4 é uma raiz real de P(x).

Para facilitar o calculo utilizaremos o Teorema do Resto.

P(x) = x3 ? 15 ? x ? 4

P(? 4) = (? 4)3 ? 15 ? (? 4) ? 4 = ? 8 ? P(? 4) ? 0 , então ? 4 não é raiz de P(x)

P(? 2) = (? 2)3 ? 15 ? (? 2) ? 4 = 18 ? P(? 2) ? 0 , então ? 2 não é raiz de P(x)

P(? 1) = (? 1)3 ? 15 ? (? 1) ? 4 = 10 ? P(? 1) ? 0 , então ? 1 não é raiz de P(x)

P(1) = (1)3 ? 15 ? (1) ? 4 = ? 18 ? P(1) ? 0 , então 1 não é raiz de P(x)

P(2) = (2)3 ? 15 ? (2) ? 4 = ? 26 ? P(2) ? 0 , então 2 não é raiz de P(x)

P(4) = (4)3 ? 15 ? (4) ? 4 = 0 ? P(4) = 0 , então 4 é raiz de P(x) .

Então como sabemos o valor de uma raiz podemos determinar as outras conforme o Método 1.

Fontes:

LOZA, Armando Tori. LEYVA, Juan C. Problemas de Algebra y como resolverlos. Racso Editores: Peru, 1.998.

SÃO PAULO (estado), Secretaria da Educação. Caderno do Professor ? Matemática da 2ª série do Ensino Médio. 2º bimestre. São Paulo: SEE, 2.009.




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