Questões do Profmat
Matemática

Questões do Profmat



1
Sérgio B. de Miranda
1. Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua
meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se
exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240
kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar a intensidade do
exercício nos próximos 10 minutos de maneira a aumentar o dispêndio
de calorias por minutos em relação à média dos primeiros 20 minutos
em:
(A) 25%
(B) 30%
(C) 50%
(D) 60%
(E) 80%
Solução: (C)
Calculando a taxa de calorias que Maria consumiu nos 20 min de
exercício temos:
240 kcal / 20 min = 12 kcal/min
Se Maria consumiu 240 kcal ainda lhe resta gastar: 420 kcal – 240 kcal
= 180 kcal, assim a taxa de consumo de caloria nos 10 min finais na
sessão de exercícios, é:
180 kcal / 10 min = 18 kcal/min
Assim é necessário que aumente a taxa de consumo em 6 kcal/min.
kcal %
12 100
6 x
12 / 6 = 100 / x
12 . x = 100 . 6
x = (100 . 6) / 12 = 50%
Sérgio B. de Miranda
2. Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti
horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com
as seguintes restrições:
a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,
b) Dois vértices opostos devem ter a mesma cor.
De quantas maneiras distintas ele pode fazer isto? (Duas pinturas são
distintas se algum dos vértices numerados foi pintado com cores
diferentes).
(A) 12
(B) 24
(C) 30
(D) 60
(E) 72
Solução: (B)
Seguindo as restrições temos:
Para o vértices 1 temos 4 possibilidades de cores;
Para o vértices 2 temos 3 possibilidades de cores;
Para o vértices 3 temos 2 possibilidades de cores;
Para o vértices 4 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 1;
Para o vértices 5 temos 1 possiblidade,
Para o vértices 6 temos 1 possiblidade, pois é oposto ao vértices 3;
Assim, as maneiras distintas de realizar a pintura do hexágono regular é:
4 . 3 . 2 . 1 . 1 . 1 = 24
es pois é oposto ao vértices 2;
2
antihorário,
Sérgio B. de Miranda
3. Uma broca de raio r = 2 perfura um cone circular reto de altura H =
12 e raio R = 6 ao longo de seu eixo central. O resultado é um tronco
de cone perfurado conforme ilustrado acima. O volume do buraco
cilíndrico é então:
(A) 16 π
(B) 20 π
(C) 24 π
(D) 28 π
(E) 32 π
Solução: (E)
O primeiro passo é calcular a altura do tronco cônico resultante do
processo de perfuração da broca.
Figura 1: Vista em cirte do tronco cônico
Pela Figura 1, podemos calcular a altura do cone pela Semelhança de
Triângulos:
12 / x = 6 / 2
3
4
Sérgio B. de Miranda
12 / x = 3
x = 4
Assim a altura do tronco cônico é: 12 – 4 = 8. Calculando o volume do
cilindro:
Vcilindro = π . r2 . h = π . 22 . 8 = 32 . π
4. Um cientista tirou duas medidas das grandezas x e y, obtendo os
pares (x1, y1) = (3, 1) e (x2, y2) = (4, 3). Pela teoria, essas grandezas
deveriam ser proporcionais, isto é, deveria existir “a” tal que y = a . x ,
mas isso não ocorreu no experimento. Como ele acha que foi por causa
dos erros experimentais, então achou “a” que dá o menor valor
possível para (y1 – a . x1)2 + (y2 – a . x2)2. O valor de a que o cientista
encontrou foi:
(A) 3 / 5
(B) 2 / 3
(C) 2 / 5
(D) 3 / 4
(E) 4 / 7
Solução: (A)
(y1 – a . x1)2 + (y2 – a . x2)2 = (1 – a . 3)2 + (3 – a . 4)2 =
= (1 – 6 . a + 9 . a2) + (9 – 24 . a + 16 . a2) = 1 – 6 . a + 9 . a2 + 9 – 24 . a
+ 16 . a2 =
= 10 – 30 . a + 25 . a2 = 2 – 6 . a + 5 . a2
Temos uma equação do 2º grau, cujo gráfico é uma parábola, e como a
> 0, a concavidade desta parábola é voltada para baixo. Como a esta
multiplicando x1 e x2, devemos calcular o x no vértice, pois neste local
temos o valor mínimo desta equação:
xv = – b / (2 . a) = – (– 6) / (2 . 5) = 6 / 10 = 3 / 5
Sérgio B. de Miranda
5. A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de
abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das
abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor
contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas,
percebeu que deveria aumentar sua porcentagem de sucessos nos 25%
restantes para conseguir atingir a meta. Quanto deve ser o percentual
de sucessos sobre o restante das abordagens para que ele consiga
atingir a meta de sucesso fixada inicialmente?
(A) 100 %
(B) 90 %
(C) 80 %
(D) 72%
(E) 64 %
Solução: (D)
Seja n a meta das abordagens. A meta de sucesso das abordagens é de
60%, ou seja:
5
e
6
Sérgio B. de Miranda
60% de n = (60/100) . n = (3/5) . n
Se já foi feita 75% da meta, temos:
75% de n = (75/100) . n = (3/4) . n
Deste total 56% são abordagens de sucesso:
56% de [(3/4) . n] = (56/100) . (3/4) . n = (14/25) . (3/4) . n = (21/50) . n
Portanto, a quantidade de sucessos que falta é:
(3/5) . n – (21/50) . n = (9/50) . n
Ainda faltam 25% das abordagens para completar a meta de sucessos,
ou seja:
25% de n = (25/100) . n = (1/4) . n
Pela “Regra de Três Simples”:
Abordagens %
(1/4) . n 100
(9/50) . n x
[(1/4) . n] / [(9/50) . n] = 100 / x
25 / 18 = 100 / x
(18 . 100) / 25 = x
72 = x
6. Existem 36 pessoas numa fila de cinema. Na frente de Mário existem
21 pessoas. Entre Bruno e Mário existem 14 pessoas. Sabe-se ainda que
existe uma pessoa a mais entre Carlos e Bruno do que entre Carlos e
Mário. Quantas pessoas estão na frente de Carlos?
(A) 15
(B) 13
7
Sérgio B. de Miranda
(C) 11
(D) 12
(E) 14
Solução: (E)
Se existem 21 pessoas na frente de Mário (M) ele não é nem o primeiro
nem o último da fila. Existem 14 pessoas entre Mário e Bruno (B),
como atrás de Mário existem 14 pessoas, Bruno está localizado na
frente de Mário. Carlos se localiza a frente de Mário e atrás de Bruno.
36º ~
23º
22º x ? x+1 7º 6º ~ 1º
M C B
Entre Mário e Bruno existem 14 pessoas, subtraindo Carlos sobram 13
pessoas.
x + (x + 1) = 13
2x = 12
x = 6
O número de pessoas na frente de Carlos é a soma de 6 + 1 + 7 = 14
pessoas.
7. Imagine que você possui um fio de cobre extremamente longo, mas
tão longo que você consegue dar a volta num planeta esférico X que é
uma bola redonda, sem nenhuma montanha ou depressão, com raio de
exatamente 6.000.000 de metros.
O fio, com seus milhões de metros, está ajustado ao planeta X, ficando
bem colado ao chão ao longo do equador deste planeta. Digamos agora
que você acrescente 1 metro ao fio e o molde de modo que ele forme um
círculo enorme, cujo raio é um pouco maior que o raio de X e tenha o
mesmo centro. A folga obtida pela diferença dos raios do círculo
original e do aumentado é:
(A) Menor que 1 centímetro.
8
Sérgio B. de Miranda
(B) Maior que 10 metros.
(C) Entre 1 centímetro e 5 centímetros.
(D) Entre 5 centímetros e 20 centímetros.
(E) Entre 20 centímetros e 10 metros.
Solução: (D)
O comprimento inicial do fio é a circunferência do planeta X:
Cplaneta X = 2. π . rplaneta x
Caumentada = Cplaneta x + 1
Caumentada – Cplaneta x = 1
2. π . raumentada – 2. π . rplaneta x = 1
2. π . (raumentada – rplaneta x) = 1
raumentada – rplaneta x = 1 / (2. π)
Seja 1 m = 100 cm e π = 3,14.
raumentada – rplaneta x = 100 / (2. 3,14) = 15,92 cm.
8. Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por
interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices
de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O
arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que os círculos tenham
10 m de raio, num grande paredão, e para calcular a tinta necessária
precisa estimar a área da rosácea (que está sombreada no desenho).
Entre as cinco alternativas abaixo, aquela que melhor estima a área da
rosácea é:
(A) 50 m2
(B) 80 m2
(C) 110 m2
(D) 160 m2
(E) 310 m2
Sérgio B. de Miranda
Solução: (C)
(I) Método
Observe o hexágono traçado na circunferência da esquerda na Figura 1.
Perceba que ele divide uma pétala
A área da rosácea é o dobro da diferença da área do circulo, em que ela
esta inscrita, pela área do hexágono regular inscrito na mesma
circunferência.
Acircunferência = π . r2 , onde
Ahexágono = [(3/2) . (a2 . √3)] , onde a é o lado do hexágono.
Arosácea = 2 . (Acircunferência –
Arosácea = 2 . {(π . r2) – [(3/2) . (a
Como o hexágono está inscrito na circunferência
Arosácea = 2 . {(π . r2) – [(3/2) . (r
= r2 [(2 . π) – (3 . √3)]
da rosácea ao meio.
r é o raio da circunferência.
Ahexágono)
a2 . √3)]}
a = r
r2 . √3)]} = (2 . π . r2) – (3 . r
9
, então:
r2 . √3) =
Sérgio B. de Miranda
Considerando π ≈ 3,14 e
Arosácea = r2 [(2 . π) – (3 . √
(II) Método
Observe a Figura 2. Cada pétala é formada por dois segmentos
circulares e sua área é o dobro da diferença entre o setor circular pela
área do triângulo equilátero contido neste setor.
Atriângulo = (a2 . √3) / 4 , onde
Asetor circular = (π . r2 . a) / 360º , onde
circunferência.
Apétala = 2 . {[(π . r2 . a) / 360]
O lado do triângulo equilátero é formado pelo raio da circunferência,
então a = r.
Apétala = 2 . {[(π . r2 . a) / 360]
= 2 . {[(π . r2 . a) – [90 . (r
180
Considerando π ≈ 3,14 e
√3 ≈ 1,73.
3)] = 102 [(2 . 3,14) – (3 . 1,73)]
a é o lado do triângulo equilátero.
a é o ângulo central e
– [(a2 . √3) / 4]}
– [(r2 . √3) / 4]} =
r2 . √3)] / 360} = [(π . r2 . a)
√3 ≈ 1,73.
10
≈ 103 m2
r é o raio da
– [90 . (r2 . √3)] /
11
Sérgio B. de Miranda
Apétala = {(π . r2 . 60) – [90 . (r2 . √3)]} / 180 =
= {(3,14 . 102 . 6000) – [(90 . (102 . 1,73)]} / 180 ≈ 18,17 m2
Como temos 6 pétalas
Arosácea = 6 . Apétala = 6 . 18,17 = 109,02 m2
9. Uma equipe de corrida de aventura é composta por quatro membros,
sendo um deles obrigatoriamente mulher. Dez pessoas foram
convidadas a participar da seleção da equipe, das quais 4 são
mulheres. Quantas equipes diferentes podemos formar com esse grupo?
(A) 250
(B) 195
(C) 240
(D) 210
(E) 300
Solução: (B)
A quantidade de equipes é a subtração do total combinações possíveis
pelo total de combinações formadas só por homens.
C10,4 – C6,4 = {10! / [4! (10 – 4)!]} – {6! / [4! (6 – 4)!]} = 210 – 15 =
195
10. Um grupo de amigos planejou fazer uma confraternização de fim de
ano e cada um deveria contribuir com R$ 15,00. No dia marcado,
entretanto, 5 desses amigos não puderam comparecer. Para cobrir as
despesas cada um dos que compareceram contribuiu com R$ 20,00,
sendo que ainda sobrou R$ 10,00 (que foram dados ao garçom do
restaurante como gratificação). Quantas pessoas compareceram?
(A) 15
(B) 16
(C) 17
(D) 18
12
Sérgio B. de Miranda
(E) 20
Solução: (C)
Seja n o número de amigos que planejaram a confraternização, então no
dia compareceram n – 5 amigos.
20,00 . (n – 5) – 10,00 = 15,00 . n
20,00 . n – 100,00 – 10,00 = 15,00 . n
5,00 . n = 110,00
n = 22
Se 22 amigos planejaram a confraternização e 5 não compareceram
então 17 amigos compareceram na confraternização.




- Lista De Exercícios Preparatória Para O Profmat
Um arquiteto desenhou a rosácea da figura, produzida por interseções de seis círculos de raios iguais centrados sobre os vértices de um hexágono regular inscrito num círculo de mesmo raio. O arquiteto pretende fazer o desenho de forma tal que...

- Lista De Exercícios Preparatória Para O Profmat
A um vendedor foi fixada uma meta de fazer um certo número de abordagens e também uma meta de sucesso de venda de 60% das abordagens. Quando havia realizado 75% das abordagens, o vendedor contabilizou um sucesso de 56% sobre as abordagens já realizadas,...

- Lista De Exercícios Preparatória Para O Profmat
Marcos quer pintar os vértices, numerados de 1 a 6 no sentido anti-horário, de um hexágono regular dispondo, para isto, de 4 cores, com as seguintes restrições:a) Dois vértices vizinhos devem ter cores distintas,b) Dois vértices opostos devem ter...

- Lista De Exercícios Preparatória Para O Profmat
Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo, ela deve aumentar...

- ResoluÇÃo Lista ExercÍcios Profmat-1,2,3
QUESTÃO 1 Maria se exercita regularmente em sua bicicleta, por 30 minutos. Sua meta, em cada sessão, é gastar, no mínimo, 420 kcal. Depois de se exercitar por 20 minutos, ela observa no mostrador que já gastou 240 kcal. Para cumprir seu objetivo,...



Matemática








.