Matemática
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a} dx
\end{equation*}
Fatoramos as constantes:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int e^{-bx}dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle e^{-bx}$, fazemos a substituição $u = -(bx)$. Assim, $du = -b\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{1}{b}du$:
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{ab} \int e^u du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I = - \frac{e^u}{ab} + C
\end{equation*}
Mas $u = -bx$, logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{e^{-bx}}{ab} + C
\end{equation*}
Se $a=b=1$, então temos:
\begin{equation*}
I = -e^{-x}+C
\end{equation*}
Integração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$
Nesta postagem, veremos que: \begin{equation*} \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C \end{equation*} onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx \end{equation*} Decompomos...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ Dx$
Nesta postagem vermos que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C \end{equation*} onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. [Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$] Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
Matemática
Resolução da integral $\int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C
\end{equation*}
onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a} dx
\end{equation*}
Fatoramos as constantes:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int e^{-bx}dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle e^{-bx}$, fazemos a substituição $u = -(bx)$. Assim, $du = -b\ dx$ e $\displaystyle dx = -\frac{1}{b}du$:
\begin{equation*}
I = -\frac{1}{ab} \int e^u du
\end{equation*}
A integral de $e^u$ é $e^u$. Assim:
\begin{equation*}
I = - \frac{e^u}{ab} + C
\end{equation*}
Mas $u = -bx$, logo:
\begin{equation*}
I = -\frac{e^{-bx}}{ab} + C
\end{equation*}
Se $a=b=1$, então temos:
\begin{equation*}
I = -e^{-x}+C
\end{equation*}
Veja mais:
Lista de resolução e integraisIntegração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$
Nesta postagem, veremos que: \begin{equation*} \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C \end{equation*} onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx \end{equation*} Decompomos...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ Dx$
Nesta postagem vermos que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C \end{equation*} onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. [Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$] Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...