Retificação da Circunferência (Parte 1)
Neste post faremos a retificação da circunferência. O segmento encontrado nos remeterá a um valor aproximado de π.
Dada uma circunferência de raio R, como determinar o valor de seu comprimento? Podemos utilizar a conhecida fórmula: C = 2πR. Vamos retificar a circunferência, ou seja, desenrolar esta circunferência de modo que fique toda esticada, utilizando somente régua e compasso.
1) Descreva uma circunferência com centro em O e raio R.
2) Trace o diâmetro vertical AB.
3) Trace a tangente t em B.
4) Com a ponta seca do compasso em B e raio R, descreva o arco OC, marcando C na intersecção com a tangente t.
5) Com a ponta seca do compasso em C e raio OC, descreva o arco OD, marcando D na intersecção com a tangente t. Note que OC é a diagonal do quadrado de lado igual a R, medindo R√2.
6) Coma ponta seca do compasso em D e raio R, descreva um arco e marque E sobre a tangente t.
7) Coma ponta seca do compasso em E e raio R, descreva um arco e marque F sobre a tangente t.
8) Trace um seguimento de reta de A passando por F prolongando-o. Veja que o comprimento do segmento AF é igual a πR.
9) Com centro em F e raio AF descreva um arco marcando G no prolongamento do segmento de reta AF. Logo, o segmento AG = 2πR, que é o comprimento da circunferência de raio R.
Observando a figura acima, temos que o segmento AG aproxima o valor de 2πR. Como AF = AG, basta determinarmos o valor do segmento AF para encontrarmos uma aproximação de π. Temos que:
O problema agora se resume em determinar o comprimento do segmento AF. Aplicando o teorema pitagórico no triângulo ABF, obtemos:
Como o segmento AF equivale a πR, substituímos em (6), obtendo:
O valor para π encontrado em (7) nos leva a π = 3,135. Vejam que este valor nos dá uma aproximação para π razoável, em termos geométricos.
Retificação da Circunferência (Parte 2) - Método de Kochanski
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