Matemática
Recapitulando a definição formal: Dizer que o limite de f(x), para x tendendo a c, é L significa que para qualquer que seja ? > 0 existe um ? > 0 tal que, para todo x diferente de c, se 0 < | x ? c | < ? então |f(x) ? L| < ?. Utiliza-se a seguinte notação:
Se dissermos, portanto, que ?cumprir a condição P? significa satisfazer a desigualdade 0 < | x ? c | < ? e que ?cumprir a condição Q? significa satisfazer a desigualdade |f(x) ? L| < ?, a demonstração se resume a encontrar um ? conveniente que torne o conjunto A um subconjunto do conjunto B, para qualquer que for o ? dado.
Referências: Guidorizzi; Leithold; Stewart; Larson.
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Matemática
Sobre demonstrações envolvendo limites e a definição ?-?
Recapitulando a definição formal: Dizer que o limite de f(x), para x tendendo a c, é L significa que para qualquer que seja ? > 0 existe um ? > 0 tal que, para todo x diferente de c, se 0 < | x ? c | < ? então |f(x) ? L| < ?. Utiliza-se a seguinte notação:
Conforme foi visto na última postagem isso é um modo formal de dizer que quando x se aproxima de c, f(x) se aproxima de L com o valor de f(x) podendo ficar tão próximo de L quanto quisermos, bastando para isso aproximar x de c o suficiente.
Então, para provar que o limite de f(x), para x tendendo a c, é L temos que mostrar que para qualquer ? dado existe um ? que torna a seguinte implicação verdadeira:
0 < | x ? c | < ? ? | f(x) ? L | < ?
Muitas vezes o que temos que fazer é reescrever o lado direito da implicação. No exemplo considerado na última postagem vimos graficamente que:
Se a intenção fosse provar isso utilizando a definição formal teríamos que mostrar que para qualquer ? > 0 existe um ? > 0 tal que para todo x diferente de c:
Mas observe o seguinte:
Portanto, tudo se resume em mostrar que para qualquer ? positivo existe um ? positivo tal que a seguinte implicação é válida:
0 < |x ? 2| < ? ? |x ? 2| < ?
Veja, por exemplo, que se ? = 0,01 temos que mostrar que existe um ? tal que
0 < |x ? 2| < ? ? |x ? 2| < 0,01
Este é um dos casos mais simples. Evidentemente existe um ? que torna a implicação acima válida. Basta escolher ? = 0,01. De fato:
0 < |x ? 2| < 0,01 ? |x ? 2| < 0,01
Agora se for dado, por exemplo, ? = 0,0001 tudo o que temos que fazer é escolher ? = 0,0001. Para esta função em particular basta sempre escolher ? = ?, para qualquer que for o ? dado.
Observação:
Antes de considerar qualquer teorema sobre limite, talvez seja conveniente relembrar o significado de uma implicação lógica ? já que as demonstrações se baseiam nelas.
Sejam A e B dois conjuntos definidos como se segue:
A = {x, tal que x cumpre a condição P}
B = {x, tal que x cumpre a condição Q}
Dizer algumas das sentenças abaixo (que são todas equivalentes)
- P implica Q
- Se P então Q
- P é condição suficiente para Q
- P somente se Q
- Q é condição necessária para P
Continua aqui.
Erros podem ser apontados aqui.
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VEJA TAMBÉM
Sobre a definição formal de limite
Demonstrações de teoremas sobre limites
Demonstrações de teoremas sobre limites
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