Matemática
Referência:
LIPSCHUTZ, Seymour; LIPSON, Marc L. Teoria dos Grafos. In: Teoria e Problemas de Matemática Discreta. 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2004. (p.188-228)
*Qualquer crítica ao conteúdo apresentado pode ser feita aqui.
PS: a referência citada contém erros gráficos (assim como edições de outros livros da mesma coleção), contudo é acessível gratuitamente.
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Matemática
Solucionando o problema das 3 casas através da Teoria do Grafos - FINAL
[veja o problema aqui]
[veja a 1ª parte da solução aqui]
[veja a 2ª parte da solução aqui]
Eis o desfecho da solução:
Se cada região tem no mínimo grau 4 e se há 5 regiões, então a soma dos graus (SG) será no mínimo 5.4=20, logo o grafo terá no mínimo 10 arestas:
20=2A
2A=20
A=20/2
A=10
(lembre-se que SG=2A, ou seja, a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas).
Mas sabemos que o nosso grafo deverá ter 9 arestas, logo o que obtemos foi uma contradição.
Portanto não existe um grafo planar com 6 vértices, 9 arestas e 5 regiões, em outras palavras, o grafo é não planar: as arestas irão se cortar (ou cruzar, ou intersectar ou passar uma por cima da outra).
Então, ainda que você fique a eternidade desenhando jamais vai obter sucesso, pois o problema de construir a figura é insolúvel.
O argumento resumido é este:
Supondo que seja possível, o desenho pretendido deverá ser um grafo planar. Mas se tal grafo existir e for planar, então:
(i) O grafo deverá possuir 6 vértices e 9 arestas e 5 regiões.
(ii) Cada região terá no mínimo grau 4.
(iii) A soma dos graus das faces será igual ao dobro das arestas.
(iv) Como conseqüência de (i) e (ii) concluímos que a soma dos graus será no mínimo 5.4=20.
(v) Como conseqüência de (iii) e (iv) concluímos que o grafo deverá ter pelo menos 10 arestas.
Partimos do princípio de que o grafo deverá ter 9 arestas e fazemos a suposição de ele ser planar. Então concluímos, por meio de procedimentos matemáticos legítimos, que o grafo deverá ter no mínimo 10 arestas, o que evidentemente é uma contradição. Portanto, o único elo fraco da argumentação deve necessariamente ser a suposição de o grafo ser planar, logo o grafo não é planar.
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