Volume de um Segmento Esférico
Segmento esférico é a região limitada por dois planos paralelos que seccionam uma esfera, gerando um sólido com duas bases circulares de raios R1 e R2.
[Figura 1]
Esses planos ao interceptarem o eixo da esfera, geram os pontos x1 e x2 e a altura h do segmento esférico é dada pela distância entre as bases:
Para esta demonstração utilizaremos o cálculo integral e provaremos que o volume do segmento esférico é dado por:
Notem que, se x1 = – R e x2 = R, então h = 2R e o segmento esférico é a própria esfera:
Vejam também que, se x2 = 0, então o segmento esférico é uma calota esférica:
Vamos à demonstração:
Partindo do princípio para o cálculo do volume da esfera, temos a função f (x) originada da equação da circunferência:
Vejam o desenvolvimento completo acessando o link para o Volume da Esfera.
Suponha, então, que o segmento esférico de altura h é formado por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx e raios y, onde y é variável para cada ponto de h:
[Figura 2]
Sabemos que o volume do cilindro é dado pelo produto da área da base pela altura:
E neste caso:
A soma destes infinitos cilindros de alturas infinitesimais forma o segmento esférico nos limites x1 e x2. Então, seu volume será dado por:
Substituímos (5) na relação acima e obtemos:
Integrando em relação a x, obtemos:
Aplicando os limites:
No entanto:
e
Substituindo (9) e (10) em (8), obtemos:
Observando a figura 1, podemos destacar a figura abaixo:
[Figura 3]
Pelo Teorema Pitagórico, temos que:
e
E, também, pelo produto notável, temos:
Mas vejam que, da equação (9), obtemos:
Substituindo em (14):
Agora, podemos substituir as relações (12) e (13) em (15):
Retomando a relação do Volume dada em (11), fazemos a substituição das relações (12), (13) e (16), obtendo:
Vejam que (17) é a mesma fórmula dada em (2) que queríamos demonstrar.
Quero deixar meu agradecimento ao Professor Paulo do Blog Fatos Matemáticos pela idéia e parte do desenvolvimento deste post. Aproveitem e visitem seu blog!
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