Matemática
Vimos no post anterior sobre a demonstração da fórmula para a soma dos termos de uma P.G. finita:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}
\end{equation}
Se tivermos uma $P.G.$ infinita na forma:
\begin{equation}
(a_1, a_2, a_3, \cdots ,a_n, \cdots )
\end{equation}
podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta $P.G.$ a partir da fórmula dada em $(1)$:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}
\end{equation}
Notem que $a_1$ e $q$ são constantes, de modo que $\displaystyle \frac{a_1}{q-1}$ também é uma constante. No entanto, $q^n$ é variável, devido a $n$. Assim, temos que:
\begin{equation}
\lim_{n \longrightarrow +\infty} q^n=0
\end{equation}
onde $-1<q<1$.
Se temos uma $P.G.$ de infinitos $n$ termos, podemos aplicar $(4)$ em $(3)$, obtendo:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}=0+\frac{a_1}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}
\end{equation}
A condição $– 1 < q < 1$ é necessária para a convergência da sequência, mas se $a_1 = 0$ esta condição se torna desnecessária.
Mas, se $a_1 \neq 0$ e $q < -1$ ou $q >1$, a sequência $(S_1, S_2, S_3,\cdots)$ não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta $P.G.$.
Temos que $a_1=5$ e $\displaystyle q=\frac{1}{2}$.
Assim:
\begin{equation*}
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10
\end{equation*}
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{\frac{1}{3}}=12
\end{equation*}
Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da P.G.. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:
Veja Mais:
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Finita
Fração Geratríz de Dízima Periódica através de P.G.
A Série de Suiseth
Raízes em Progressões no blog Fatos Matemáticos
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$
Nesta postagem, veremos que: \begin{equation*} \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C \end{equation*} onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx \end{equation*} Decompomos...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
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Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C \end{equation*} onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a}...
- Resolução Da Integral $\int \frac{1}{a-bx}dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a-bx}dx = -\frac{\ln(a-bx)}{b}+C \end{equation*} onde $a$ e $b$ são constantes tais que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq bx$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*}...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
Matemática
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. Infinita
Vimos no post anterior sobre a demonstração da fórmula para a soma dos termos de uma P.G. finita:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}
\end{equation}
Se tivermos uma $P.G.$ infinita na forma:
\begin{equation}
(a_1, a_2, a_3, \cdots ,a_n, \cdots )
\end{equation}
podemos demonstrar a fórmula da soma dos termos desta $P.G.$ a partir da fórmula dada em $(1)$:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}
\end{equation}
Notem que $a_1$ e $q$ são constantes, de modo que $\displaystyle \frac{a_1}{q-1}$ também é uma constante. No entanto, $q^n$ é variável, devido a $n$. Assim, temos que:
\begin{equation}
\lim_{n \longrightarrow +\infty} q^n=0
\end{equation}
onde $-1<q<1$.
Se temos uma $P.G.$ de infinitos $n$ termos, podemos aplicar $(4)$ em $(3)$, obtendo:
\begin{equation}
S_n=\frac{a_1q^n}{q-1}-\frac{a_1}{q-1}=0+\frac{a_1}{1-q}=\frac{a_1}{1-q}
\end{equation}
A condição $– 1 < q < 1$ é necessária para a convergência da sequência, mas se $a_1 = 0$ esta condição se torna desnecessária.
Mas, se $a_1 \neq 0$ e $q < -1$ ou $q >1$, a sequência $(S_1, S_2, S_3,\cdots)$ não converge e se torna impossível calcular a soma dos termos desta $P.G.$.
Exemplo $1$:
Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(5,\frac{5}{2},\frac{5}{4}, \cdots \right)$.Temos que $a_1=5$ e $\displaystyle q=\frac{1}{2}$.
Assim:
\begin{equation*}
S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{1}{2}}=10
\end{equation*}
Exemplo $2$:
Calcule a soma dos termos da $P.G.$: $\displaystyle \left(4,\frac{8}{3},\frac{16}{9}, \cdots \right)$.
Temos que $a_1=4$ e $q = \displaystyle \frac{2}{3}$.
Assim:
\begin{equation*}S_n=\frac{a_1}{1-q}=\frac{4}{1-\frac{2}{3}}=\frac{4}{\frac{1}{3}}=12
\end{equation*}
Também podemos encontrar frações geratrizes de dízimas periódicas através da P.G.. Veja um estudo sobre esse tema acessando o link abaixo:
Veja Mais:
Fórmula da Soma dos Termos de uma P.G. FinitaFração Geratríz de Dízima Periódica através de P.G.
A Série de Suiseth
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Nesta postagem, veremos que: \begin{equation*} \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C \end{equation*} onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx \end{equation*} Decompomos...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
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Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C \end{equation*} onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a}...
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Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a-bx}dx = -\frac{\ln(a-bx)}{b}+C \end{equation*} onde $a$ e $b$ são constantes tais que $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq bx$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*}...
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