Matemática
Definição: uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo anterior é sempre a mesma (constante). A essa constante dá-se o nome de razão da P.A., e é representada por r.
A sequência (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...) é um exemplo de P.A. Vejamos:
2 – 0 = 2; 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2;
Observe que a diferença entre qualquer termo e o anterior a ele é sempre 2. Portanto, a sequência é uma P.A. de razão r = 2.
Outros exemplos:
a) (5, 10, 15, 20, 25, 30, ... ) é uma P.A. de razão r = 5
b) (20, 17, 14, 11, 8, ...) é uma P.A. de razão r = – 3
c) (7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. de razão r = 0
As Progressões Aritméticas são classificadas de acordo com o sinal da razão.
r > 0 → P.A. crescente
r < 0 → P.A. decrescente
r = 0 → P.A. constante
Agora vamos imaginar que o problema seja determinar o 100º termo de uma P.A., conhecendo o 1º termo e a razão da mesma. Intuitivamente a ideia seria adicionar a razão ao primeiro termo para obter o segundo e assim sucessivamente até encontrar o 100º termo. Esse processo é muito trabalhoso. No entanto, há uma fórmula que nos permite obter qualquer termo de uma P.A., conhecendo apenas o 1º termo e a razão. É a fórmula do termo geral da P.A.
Termo geral da P.A.
Seja a1 o primeiro termo de uma P.A. e r a sua razão. Temos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
a5 – a4 = r → a5 = a4 + r → a5 = a1 + 4r
Generalizando, obtemos:
an = a1 + (n - 1)∙r, que é a fórmula do termo geral da P.A.
Exemplo 1. Determine o 100º termo de uma P.A. de razão 3 sabendo que o primeiro termo é 2.
Solução: temos que
a1 = 2; r = 3; a100 = ?
Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos:
a100 = 2 + (100 - 1)∙3
a100 = 2 + 99∙3
a100 = 2 + 297 = 299
Portanto, o 100º termo da P.A. é 299.
Exemplo 2. Calcule o 50º termo da P.A. ( -3, -7, -11, -15, ...)
Solução: temos que
a1 = -3; r = a2 – a1 = -7 – (-3) = -7 + 3 = -4; a50 = ?
Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., obtemos:
a50 = -3 + (50 - 1)∙(-4)
a50 = -3 + 49∙(-4)
a50 = -3 - 196 = -199
Exemplo 3. Qual é o 33º múltiplo de 7?
Solução: sabemos que o 1º múltiplo de qualquer número é zero. Assim, os primeiros termos dessa P.A. são (0, 7, 14, 21, ...).
Dessa forma, temos que
a1 = 0; r = 7; a33 = ?
Pela fórmula do termo geral, obtemos:
a33 = 0 + (33 - 1)∙7
a33 = 0 + 32∙7 = 224
- Progressão Geométrica
É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por um número constante q (razão). Exemplos: a) (2, 4, 8, 16) 4 = 2.2 8 = 4.2 →a razão é 2. 16 = 8.2 b) (3, 9, 27, 81) 9 = 3.3 27 = 9.3 ...
- Progressão Geometrica
Progressão geométrica é uma seqüencia numérica que cresce ou decresce pelo produto por uma taxa constante. Nessa progressão, os seus termos a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada razão q. Por exemplo:...
- Sequências Pa
CLASSIFICAÇÃO Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em: 1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva. Exemplo: (4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva) 2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa....
- Progressão Aritmética
Marcos Noé P.AA sequência numérica que envolve números reais em que a partir do 2º elemento a diferença entre qualquer termo e seu antecessor seja um número constante recebe o nome de Progressão Aritmética...
- Progressão Geométrica (p.g.)
Definição: uma sequência numérica é chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se o quociente entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo antecessor for sempre o mesmo (constante). A essa constante...
Matemática
Progressão Aritmética
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves
E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia
Professor Antonio Carlos carneiro Barroso
email [email protected] blogs www.accbarrosogestar.wordpress.com www.accbarrosogestar.blogspot.com.br ; HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com.br ; HTTP://accbarroso60.wordpress.com
Extraído de http://www.alunosonline.com.br
A sequência (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...) é um exemplo de P.A. Vejamos:
2 – 0 = 2; 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2;
Observe que a diferença entre qualquer termo e o anterior a ele é sempre 2. Portanto, a sequência é uma P.A. de razão r = 2.
Outros exemplos:
a) (5, 10, 15, 20, 25, 30, ... ) é uma P.A. de razão r = 5
b) (20, 17, 14, 11, 8, ...) é uma P.A. de razão r = – 3
c) (7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. de razão r = 0
As Progressões Aritméticas são classificadas de acordo com o sinal da razão.
r > 0 → P.A. crescente
r < 0 → P.A. decrescente
r = 0 → P.A. constante
Agora vamos imaginar que o problema seja determinar o 100º termo de uma P.A., conhecendo o 1º termo e a razão da mesma. Intuitivamente a ideia seria adicionar a razão ao primeiro termo para obter o segundo e assim sucessivamente até encontrar o 100º termo. Esse processo é muito trabalhoso. No entanto, há uma fórmula que nos permite obter qualquer termo de uma P.A., conhecendo apenas o 1º termo e a razão. É a fórmula do termo geral da P.A.
Termo geral da P.A.
Seja a1 o primeiro termo de uma P.A. e r a sua razão. Temos que:
a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 = a2 + r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 = a3 + r → a4 = a1 + 3r
a5 – a4 = r → a5 = a4 + r → a5 = a1 + 4r
Generalizando, obtemos:
an = a1 + (n - 1)∙r, que é a fórmula do termo geral da P.A.
Exemplo 1. Determine o 100º termo de uma P.A. de razão 3 sabendo que o primeiro termo é 2.
Solução: temos que
a1 = 2; r = 3; a100 = ?
Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos:
a100 = 2 + (100 - 1)∙3
a100 = 2 + 99∙3
a100 = 2 + 297 = 299
Portanto, o 100º termo da P.A. é 299.
Exemplo 2. Calcule o 50º termo da P.A. ( -3, -7, -11, -15, ...)
Solução: temos que
a1 = -3; r = a2 – a1 = -7 – (-3) = -7 + 3 = -4; a50 = ?
Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., obtemos:
a50 = -3 + (50 - 1)∙(-4)
a50 = -3 + 49∙(-4)
a50 = -3 - 196 = -199
Exemplo 3. Qual é o 33º múltiplo de 7?
Solução: sabemos que o 1º múltiplo de qualquer número é zero. Assim, os primeiros termos dessa P.A. são (0, 7, 14, 21, ...).
Dessa forma, temos que
a1 = 0; r = 7; a33 = ?
Pela fórmula do termo geral, obtemos:
a33 = 0 + (33 - 1)∙7
a33 = 0 + 32∙7 = 224
- Progressão Geométrica
É toda seqüência em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao seu antecessor multiplicado por um número constante q (razão). Exemplos: a) (2, 4, 8, 16) 4 = 2.2 8 = 4.2 →a razão é 2. 16 = 8.2 b) (3, 9, 27, 81) 9 = 3.3 27 = 9.3 ...
- Progressão Geometrica
Progressão geométrica é uma seqüencia numérica que cresce ou decresce pelo produto por uma taxa constante. Nessa progressão, os seus termos a partir do segundo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada razão q. Por exemplo:...
- Sequências Pa
CLASSIFICAÇÃO Quanto à razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em: 1. Crescentes – São aquelas cuja razão é positiva. Exemplo: (4, 8, 12...) →r = 4 > 0 (positiva) 2. Decrescentes – São aquelas cuja razão é negativa....
- Progressão Aritmética
Marcos Noé P.AA sequência numérica que envolve números reais em que a partir do 2º elemento a diferença entre qualquer termo e seu antecessor seja um número constante recebe o nome de Progressão Aritmética...
- Progressão Geométrica (p.g.)
Definição: uma sequência numérica é chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se o quociente entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo antecessor for sempre o mesmo (constante). A essa constante...