Progressão Aritmética

Definição: uma Progressão Aritmética (ou P.A.) é uma sequência numérica em que a diferença entre qualquer termo (a partir do 2º) e o termo anterior é sempre a mesma (constante). A essa constante dá-se o nome de razão da P.A., e é representada por r.

A sequência (0, 2, 4, 6, 8, 10, ...) é um exemplo de P.A. Vejamos:

2 – 0 = 2; 4 – 2 = 2; 6 – 4 = 2; 8 – 6 = 2;

Observe que a diferença entre qualquer termo e o anterior a ele é sempre 2. Portanto, a sequência é uma P.A. de razão r = 2.

Outros exemplos:

a) (5, 10, 15, 20, 25, 30, ... ) é uma P.A. de razão r = 5
b) (20, 17, 14, 11, 8, ...) é uma P.A. de razão r = – 3
c) (7, 7, 7, 7, ...) é uma P.A. de razão r = 0

As Progressões Aritméticas são classificadas de acordo com o sinal da razão.

r > 0 → P.A. crescente
r < 0 → P.A. decrescente
r = 0 → P.A. constante

Agora vamos imaginar que o problema seja determinar o 100º termo de uma P.A., conhecendo o 1º termo e a razão da mesma. Intuitivamente a ideia seria adicionar a razão ao primeiro termo para obter o segundo e assim sucessivamente até encontrar o 100º termo. Esse processo é muito trabalhoso. No entanto, há uma fórmula que nos permite obter qualquer termo de uma P.A., conhecendo apenas o 1º termo e a razão. É a fórmula do termo geral da P.A.

Termo geral da P.A.

Seja a₁ o primeiro termo de uma P.A. e r a sua razão. Temos que:

a₂ – a₁ = r → a₂ = a₁ + r
a₃ – a₂ = r → a₃ = a₂ + r → a₃ = a₁ + 2r
a₄ – a₃ = r → a₄ = a₃ + r → a₄ = a₁ + 3r
a₅ – a₄ = r → a₅ = a₄ + r → a₅ = a₁ + 4r

Generalizando, obtemos:
a_n = a₁ + (n - 1)∙r, que é a fórmula do termo geral da P.A.

Exemplo 1. Determine o 100º termo de uma P.A. de razão 3 sabendo que o primeiro termo é 2.

Solução: temos que

a₁ = 2; r = 3; a₁₀₀ = ?

Utilizando a fórmula do termo geral, obtemos:

a₁₀₀ = 2 + (100 - 1)∙3
a₁₀₀ = 2 + 99∙3
a₁₀₀ = 2 + 297 = 299

Portanto, o 100º termo da P.A. é 299.

Exemplo 2. Calcule o 50º termo da P.A. ( -3, -7, -11, -15, ...)

Solução: temos que

a₁ = -3; r = a₂ – a₁ = -7 – (-3) = -7 + 3 = -4; a₅₀ = ?

Utilizando a fórmula do termo geral da P.A., obtemos:

a₅₀ = -3 + (50 - 1)∙(-4)
a₅₀ = -3 + 49∙(-4)
a₅₀ = -3 - 196 = -199
Exemplo 3. Qual é o 33º múltiplo de 7?

Solução: sabemos que o 1º múltiplo de qualquer número é zero. Assim, os primeiros termos dessa P.A. são (0, 7, 14, 21, ...).

Dessa forma, temos que

a₁ = 0; r = 7; a₃₃ = ?

Pela fórmula do termo geral, obtemos:

a₃₃ = 0 + (33 - 1)∙7
a₃₃ = 0 + 32∙7 = 224
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