Matemática
Esta demonstração do teorema de Pitágoras, baseia-se nas relações métricas da circunferência.
Considere o triângulo $ABC$. Tomando como centro o ponto $B$ e raio igual a hipotenusa $AB$, traçamos uma circunferência.
A seguir prolongamos os catetos $AC$ e $BC$, interceptando a circunferência nos pontos $L$, $D$ e $E$ respectivamente.
Pelo teorema das cordas, temos:
\begin{equation}
AC \cdot CL = DC \cdot CE
\end{equation}
Note que
\begin{equation}
DC = DB + BC = AB + BC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CL = AC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CE = BE - BC = AB - BC
\end{equation}
Substituindo $(2)$, $(3)$ e $(4)$ em $(1)$, segue que:
\begin{equation}
AC^2 = (AB + BC) \cdot (AB - BC) = AB^2 - BC^2
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
AB^2 = AC^2 + BC^2
\end{equation}
Construção geométrica de $\varphi$ em circunferências
Ternos Pitagóricos: A tábua de Plimpton $322$
- Resolução Da Integral $\int \frac{1}{a\ E^{bx}}dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C \end{equation*} onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a}...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
- Integral Indefinida Do Produto De Senos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois senos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}(ax) \cdot \text{sen}(bx)\ dx=\frac{\text{sen} [(a-b) x]}{2 (a-b)}...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
- Demonstração Da Derivada Da Função Logarítmica
Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...
Matemática
Prova do Teorema de Pitágoras, baseado nas relações métricas da circunferência
Esta demonstração do teorema de Pitágoras, baseia-se nas relações métricas da circunferência.
Considere o triângulo $ABC$. Tomando como centro o ponto $B$ e raio igual a hipotenusa $AB$, traçamos uma circunferência.
A seguir prolongamos os catetos $AC$ e $BC$, interceptando a circunferência nos pontos $L$, $D$ e $E$ respectivamente.
Pelo teorema das cordas, temos:
\begin{equation}
AC \cdot CL = DC \cdot CE
\end{equation}
Note que
\begin{equation}
DC = DB + BC = AB + BC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CL = AC
\end{equation}
e
\begin{equation}
CE = BE - BC = AB - BC
\end{equation}
Substituindo $(2)$, $(3)$ e $(4)$ em $(1)$, segue que:
\begin{equation}
AC^2 = (AB + BC) \cdot (AB - BC) = AB^2 - BC^2
\end{equation}
Logo:
\begin{equation}
AB^2 = AC^2 + BC^2
\end{equation}
Referências:
[1] Prova do Teorema de Pitágoras (5) no blog Fatos MatemáticosVeja mais:
O Teorema de Pitágoras segundo EuclidesConstrução geométrica de $\varphi$ em circunferências
Ternos Pitagóricos: A tábua de Plimpton $322$
- Resolução Da Integral $\int \frac{1}{a\ E^{bx}}dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = -\frac{e^{-bx}}{ab}+C \end{equation*} onde $a$ e $b \in \mathbb{R}$ e $a$ e $b \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \frac{1}{a\ e^{bx}}dx = \int \frac{e^{-bx}}{a}...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
- Integral Indefinida Do Produto De Senos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois senos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}(ax) \cdot \text{sen}(bx)\ dx=\frac{\text{sen} [(a-b) x]}{2 (a-b)}...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
- Demonstração Da Derivada Da Função Logarítmica
Neste artigo, veremos uma demonstração de como encontrar a derivada da função logarítmica usando o conceito de derivada e limites. Iremos provar que, se $ f(x) = \ln(x)$, então sua derivada será $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$. Demonstração:Seja...