Matemática
- Questão 44 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
Para determinar a altura de um prédio, um estudante, que estava sem instrumento de medida de comprimento, e com ajuda de um instrumento que ele construiu, mediu de forma aproximada o ângulo de elevação do prédio a partir de A, obtendo 45°. Em seguida,...
- Questão 38 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
Deseja-se construir uma calçada contornando dois lados consecutivos de um jardim, cuja forma é retangular, conforme mostra a figura: Sabe-se que o terreno de 12 m por 8 m é também retangular. Assim, se a área da calçada em torno do jardim for igual...
- Questão 35 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
A medida do ângulo interno de um octógono regular é (A) 45°.(B) 60°(C) 90°.(D) 120°.(E) 135°. Solução: (E) Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya: 1° ? Compreensão do Problema O octógono regular (vide Figura 1) é o...
- Questão 40 ? Concurso See ? 2.010 ? Professor De Educação Básica Ii ? Matemática
Com relação à figura abaixo, sabe-se que: ? A, B, C, D são pontos pertencentes à reta r; ? E, F, G são pontos pertencentes à reta s; ? r é paralela à s; ? EF=FG=2.AB=2.BC=2.CD=2; ? dos sete pontos, os únicos pares de pontos alinhados verticalmente...
- Questão 43 ? Processo De Promoção ? Professor De Matemática ? See ? São Paulo ? 2.013
A figura mostra um cubo de vértices EFGHDABC e um triângulo de vértices EDG. A área desse triângulo é 4 ?3 cm2 . Assim, o volume do cubo é igual a (A) 4 ?3 cm3 .(B) 6 ?3 cm3 .(C) 3 ?2 cm3 .(D) 16 ?2 cm3 .(E) 18 ?6 cm3 . Solução: (D) Um...
Matemática
Questão 42 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II
A figura representa um quadrado formado por cinco polígonos: um quadrado e quatro triângulos retângulos. Esses triângulos são congruentes, cujos catetos medem a(cateto maior) e b (cateto menor) e a hipotenusa mede c.
A área da região quadrada destacada na figura é igual a
(A) c2 ? (a + b)2
(B) c2 ? a2 ? b2
(C) (c ? a)2 + b2
(D) a2 ? 2ab + b2
(E) a2 ? b2
Solução: (D)
Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:
1° ? Compreensão do Problema
Inicialmente consideremos a parte indicada na Figura 1 como sendo um erro construtivo na imagem do enunciado.
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| Figura 1: Erro construtivo na imagem do enunciado. |
Na Figura 2 indicamos os pontos por letras, devemos determinar uma expressão que representa a área do quadro EFGH.
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| Figura 2: Indicação dos pontos. |
Podemos observar que temos quatro triângulos retângulos congruentes: ?AFB; ?BGC; ?CHD, e; ?DEA. Lados congruentes destes triângulos formam um quadrado ABCD.
Observe o triângulo retângulo ?AFB é retângulo em F (ou seja, o ângulo F mede 90º), então o lado AB é a hipotenusa do triângulo, cuja medida é c, o lado BF é o cateto menor, cuja medida é b e o lado AF é o cateto maior, cuja medida é a (vide Figura 3).
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| Figura 3: Indicação dos lados dos triângulos. |
Conforme a Figura 4, considerando x o lado do quadrado destacado na figura, a área quadrada (AQ) é igual a x2, temos também que AF = AE + EF ? EF = AF ? AE e que AF = a e AE = b, então EF = a ? b, ou seja, x = a ? b.
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| Figura 4: Figura completa após analise. |
2° ? Estabelecimento de um Plano
Utilizando os dados analisados do enunciado determinamos a área quadrada AQ.
3° ? Execução do Plano
AQ = x2
AQ = (a ? b)2
AQ = (a ? b)2 = a2 ? 2 · a · b + b2
AQ = a2 ? 2 · a · b + b2
4° ? Avaliação
A área AQpode ser obtida subtraindo as áreas dos quatro triângulos retângulos do quadrado ABCD (AABCD), sendo os quatro triângulos congruentes, temos então:
AQ = AABCD ? 4 · A?AFB
AQ = c2 ? 4 · [(a · b) / 2]
AQ = c2 ? 2 · a · b
Observe que aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos da Figura 2, obtemos a relação:
c2 = a2 + b2
Então, substituindo c2 em AQ = c2 ? 2 · a · b
AQ = a2 + b2? 2 · a · b ? AQ = a2 ? 2 · a · b + b2
***
Quem gosta de estudar geometria (assim como eu) pode reconhecer a figura do enunciado, principalmente se já leu o livro ?The Pythagorean Proposition? de Elisha S. Loomis.
No seu livro Loomis reuniu diversas formas de provar o Teorema de Pitágoras. Na segunda edição do livro, de 1972, na página 49, temos a Figura 32 representando a 34º prova algébrica do teorema, proposta pelo Rev. J. G. Excell (em 1.928), R. A. Bell (em 1.931) e Dr. W. Leitzmann (em 1.930).
Na Figura 5, temos a imagem da prova realizada.
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| Figura 5: Prova do Teorema de Pitágoras No Livro de Elisha S. Loomis. |
Consideremos BH = x, e HF = y, então AH = x + y. A sacada está na igualdade AC2 = 4 · A?ABH + HE2; onde AC2 é a área do quadrado ABCD; A?ABH é a área do triângulo ABH e HE2 é a área do quadrado EFGH.
- Questão 44 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
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