Matemática

Questão 38 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.014 ? Professor de Educação Básica II

Deseja-se construir uma calçada contornando dois lados consecutivos de um jardim, cuja forma é retangular, conforme mostra a figura:

Sabe-se que o terreno de 12 m por 8 m é também retangular. Assim, se a área da calçada em torno do jardim for igual a 36 m², uma equação que permite determinar a medida x é

(A) x² ? 20x + 36 = 0.

(B) x² + 16x ? 96 = 0.

(D) 3x² ?16x + 1 = 0.

(E) 3x² ? 7x + 12 = 0.

Solução: (A)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

Temos que determinar a medida x, que representa a largura da calçada.

O problema fornece uma figura com as dimensões do terreno, bem como a área da calçada (36 m²).

Se as dimensões do terreno são 8 m por 12 m então temos uma área de 96 m² sendo que o jardim terá 60 m² (96 m² ? 36 m² = 60 m²).

Da figura observamos que as dimensões do jardim são: (8 ? x) m e (12 ? x) m.

2° ? Estabelecimento de um Plano

Segundo o enunciado o jardim tem forma retangular podemos utilizar a fórmula da área do retângulo:

A_retângulo = (base) · (altura)

Como sabemos a medida da área do jardim e as suas dimensões podemos relacioná-las na equação:

60 = (8 ? x) · (12 ? x)

3° ? Execução do Plano

Reorganizando a equação 60 = (8 ? x) · (12 ? x):

60 = (8 ? x) · (12 ? x) ? 60 = 96 ? 8 · x ? 12 · x + x²

60 = 96 ? 20 · x + x²

0 = ? 60 + 96 ? 20 · x + x²

0 = 36 ? 20 · x + x² ? x² ? 20 · x + 60 = 0

4° ? Avaliação

Podemos aplicar outras formas para resolver esta questão. Redesenhando a figura do enunciado e indicando os pontos em cada vértice obtemos a Figura 1.

Figura 1: Localização dos pontos auxiliares para a resolução.

Observe que trançando o segmento FC obtemos dois trapézios: GFCD e EBFC (vide Figura 2), cuja soma das áreas é igual a 36 m².

Figura 2: Segmento FC formando dos trapézios.

Área_Trapézio = [(base maior) + (base menor)] · (altura) / 2

As bases do trapézio se referem ao lados paralelos.

No trapézio GFCD a base maior é o segmento CD de medida igual a 8, a base menor é o segmento GF de medida igual a (8 ? x) e a altura é o segmento DG de medida igual a x. No trapézio EBFC a base maior é o segmento BC de medida igual a 12, a base menor é o segmento EF de medida igual a (12 ? x) e a altura é o segmento DG de medida igual a x.

Área_GFCD + Área_EBFC = 36 m²

{[(8) + (8 ? x)] · (x) / 2} + {[(12) + (12 ? x)] · (x) / 2} = 36

{[16 ? x] · (x) / 2} + {[24 ? x] · (x) / 2} = 36

{[16 · x ? x²] / 2} + {[24 · x ? x²] / 2} = 36

{[40 · x ? 2 · x²] / 2} = 36

20 · x ? x² = 36

20 · x ? x² ? 36 = 0 ? x²? 20 · x + 36 = 0

A equação poderia ser encontrada realizando o seguinte procedimento: prolongar o seguimento EF até o segmento CD obtendo o ponto P₁ e prolongando o segmento GF até o segmento BC obtendo o ponto P₂. Para mais detalhes vide Figura 3.

Figura 3: Áreas dos retângulos.

Desta forma teríamos três retângulos: DGFP₁ com medidas de (8 ? x) e x; CP₁FP₂ com medidas de x e x (ou seja, é um quadrado), e; FEBP₂ com medidas de (12 ? x) e x.

Sabemos que a soma das áreas destes três retângulos é 36 m².

Área_DGFP1 + Área_CP1FP2 + Área_FEBP2 = 36 m²

{(8 ? x) · x} + {x · x} + {(12 ? x) · x} = 36

{8 · x ? x² } + { x² } + {12 · x ? x² } = 36

8 · x ? x² + x²+ 12 · x ? x² = 36

? x² + 20 · x ? 36 = 0 ? x²? 20 · x + 36 = 0

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