Matemática
Como é que se pode demonstrar que é impossível efetuar uma determinada construção com régua e compasso? É claro que para mostrar que uma certa construção é possível basta levá-la efetivamente a cabo. O que Wantzel conseguiu provar, influenciado pelas ideias de Gauss, foi que se se conseguir, partindo de dois pontos A e B, construir um ponto C com régua e compasso, então o quociente q entre as distâncias de A a C e de A a B tem as seguintes propriedades:
Ângulo com medida 22°30? ? é possível
22º30? = 22,5º, ou seja, podemos determinar a bissetriz de um ângulo de 45º, este processo é possível utilizando somente régua e compasso.
Arco de circunferência cuja medida, em centímetros, equivale a um quarto da medida da circunferência que o contém ? é possível
Esta construção é obtida dividindo-se a circunferência em quatro partes iguais, este processo é possível utilizando somente régua e compasso.
Losango com perímetro de 4 ? 5 centímetros e ângulos de 60º e 120º ? é possível
O losango possui todos os lados com a mesma mediada, portanto devemos construir u losango de lado com medida ? 5, esta medida pode ser obtida por meio de régua e compasso com o auxilio de uma ?espiral pitagórica? ou construindo-se um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm e 1 cm, assim obtemos uma hipotenusa de medida ? 5 cm.
Triângulo isósceles retângulo cuja hipotenusa mede 13 centímetro ? é possível
Para se construir este triângulo, inicialmente constrói-se o segmento de medida 13 que será a hipotenusa. Escolhemos um lado deste segmento para realizar as seguintes construções: na extremidade deste segmento construímos um reta formado um ângulo de 45º; e na outra extremidade construímos uma reta formando um ângulo de 135º. A intersecção destas retas forma os lados do triângulo.
Outra forma é constrói-se o segmento de medida 13 que será a hipotenusa. Determina-se a mediatriz deste segmento. Constrói-se uma circunferência de raio 6,5 cm e cujo centro localiza-se na intersecção entre a mediatriz e o segmento de 13 cm. Traça-se dois segmentos de reta partindo das extremidades dos segmentos ao ponto da intersecção da mediatriz com a circunferência.
- Questão 59 ? Processo De Promoção ? Professor De Matemática ? See ? São Paulo ? 2.013
A professora do 9.º ano solicitou a seus alunos que localizassem na reta numérica o ponto correspondente a 2 ?3, utilizando régua e compasso. Todos os alunos tinham bons instrumentos e fizeram os transportes das medidas adequadamente, utilizando de...
- Questão 53 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.010 ? Professor De Educação Básica Ii
O ensino de uma estratégia para trissectar um segmento de reta com régua e compasso, tradicionalmente abordado nos livros didáticos no ensino fundamental, necessita que o professor tenha trabalhado antes, com seus alunos, (A) o teorema de Pitágoras....
- Construção De Um Heptágono Regular Com Régua E Compasso (parte 1)
O Heptágono regular foi fonte de muito mistério na Geometria, quanto à sua construção com régua e compasso, apenas. Gaus provou aos $19$ anos que o heptadecágono regular é construtível com régua e compasso. De seus estudos sobre a contrutibilidade...
- Construção De Um Pentágono Regular Com Régua E Compasso (parte Iii)
Neste post vou mostrar uma terceira maneira de construir um pentágono regular utilizando régua e compasso. Para ver as construções anteriores, clique em Parte I e Parte II. Para esta construção, comece traçando um segmento de reta AB que será...
- Construção De Um Pentágono (quase) Regular Com Régua E Compasso - Parte $1$
Esta é a primeira construção de um pentágono usando régua e compasso. Apesar de tê-la encontrada como sendo um pentágono regular, mostrou-se, por fim, que é apenas uma ótima aproximação, tendo os ângulos internos diferenças menores que $1$...
Matemática
Questão 63 ? Prova do Estado ? (OFA) 2.013 ? Professor de Educação Básica II
Dos cinco objetos planos relacionados a seguir, o único que NÃO pode ser construído utilizando-se apenas lápis, régua e compasso é um
(A) segmento?de?reta?cuja?medida?é???centímetros.
(B) ângulo com medida 22°30?.
(C) arco de circunferência cuja medida, em centímetros, equivale a um quarto da medida da circunferência que o contém.
(D) losango com perímetro de 4 ? 5 centímetros e ângulos de 60º e 120º.
(E) triângulo isósceles retângulo cuja hipotenusa mede 13 centímetros.
Solução: (A)
Segmento?de?reta?cuja?medida?é???centímetros ? não é possível
O número ? é um número irracional e transcendental (provado em 1882 o matemático alemão Ferdinand von Lindemann), ou seja, não é solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros não todos nulos.
?O primeiro matemático a publicar efetivamente uma demonstração da impossibilidade de se efetuarem determinadas construções geométricas apenas com régua e compasso foi o francês Pierre Laurent Wantzel, em 1837.
(A) segmento?de?reta?cuja?medida?é???centímetros.
(B) ângulo com medida 22°30?.
(C) arco de circunferência cuja medida, em centímetros, equivale a um quarto da medida da circunferência que o contém.
(D) losango com perímetro de 4 ? 5 centímetros e ângulos de 60º e 120º.
(E) triângulo isósceles retângulo cuja hipotenusa mede 13 centímetros.
Solução: (A)
Segmento?de?reta?cuja?medida?é???centímetros ? não é possível
O número ? é um número irracional e transcendental (provado em 1882 o matemático alemão Ferdinand von Lindemann), ou seja, não é solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros não todos nulos.
?O primeiro matemático a publicar efetivamente uma demonstração da impossibilidade de se efetuarem determinadas construções geométricas apenas com régua e compasso foi o francês Pierre Laurent Wantzel, em 1837.
Como é que se pode demonstrar que é impossível efetuar uma determinada construção com régua e compasso? É claro que para mostrar que uma certa construção é possível basta levá-la efetivamente a cabo. O que Wantzel conseguiu provar, influenciado pelas ideias de Gauss, foi que se se conseguir, partindo de dois pontos A e B, construir um ponto C com régua e compasso, então o quociente q entre as distâncias de A a C e de A a B tem as seguintes propriedades:
- o número q é solução de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros não todos nulos (ou seja, é aquilo que se designa por um número algébrico);
- se P(x) = 0 for uma equação polinomial de grau mínimo entre as equações polinomiais com coeficientes inteiros não todos nulos das quais q é uma solução, então o grau de P(x) é uma potência de 2.?
Portanto não temos condições de construir o segmento de reta com a medida de ? utilizando somente régua e compasso.
Fonte: http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/quadratura.html. Acesso: 31/12/2.012
Ângulo com medida 22°30? ? é possível
22º30? = 22,5º, ou seja, podemos determinar a bissetriz de um ângulo de 45º, este processo é possível utilizando somente régua e compasso.
Arco de circunferência cuja medida, em centímetros, equivale a um quarto da medida da circunferência que o contém ? é possível
Esta construção é obtida dividindo-se a circunferência em quatro partes iguais, este processo é possível utilizando somente régua e compasso.
Losango com perímetro de 4 ? 5 centímetros e ângulos de 60º e 120º ? é possível
O losango possui todos os lados com a mesma mediada, portanto devemos construir u losango de lado com medida ? 5, esta medida pode ser obtida por meio de régua e compasso com o auxilio de uma ?espiral pitagórica? ou construindo-se um triângulo retângulo cujos catetos medem 2 cm e 1 cm, assim obtemos uma hipotenusa de medida ? 5 cm.
Triângulo isósceles retângulo cuja hipotenusa mede 13 centímetro ? é possível
Para se construir este triângulo, inicialmente constrói-se o segmento de medida 13 que será a hipotenusa. Escolhemos um lado deste segmento para realizar as seguintes construções: na extremidade deste segmento construímos um reta formado um ângulo de 45º; e na outra extremidade construímos uma reta formando um ângulo de 135º. A intersecção destas retas forma os lados do triângulo.
Outra forma é constrói-se o segmento de medida 13 que será a hipotenusa. Determina-se a mediatriz deste segmento. Constrói-se uma circunferência de raio 6,5 cm e cujo centro localiza-se na intersecção entre a mediatriz e o segmento de 13 cm. Traça-se dois segmentos de reta partindo das extremidades dos segmentos ao ponto da intersecção da mediatriz com a circunferência.
- Questão 59 ? Processo De Promoção ? Professor De Matemática ? See ? São Paulo ? 2.013
A professora do 9.º ano solicitou a seus alunos que localizassem na reta numérica o ponto correspondente a 2 ?3, utilizando régua e compasso. Todos os alunos tinham bons instrumentos e fizeram os transportes das medidas adequadamente, utilizando de...
- Questão 53 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.010 ? Professor De Educação Básica Ii
O ensino de uma estratégia para trissectar um segmento de reta com régua e compasso, tradicionalmente abordado nos livros didáticos no ensino fundamental, necessita que o professor tenha trabalhado antes, com seus alunos, (A) o teorema de Pitágoras....
- Construção De Um Heptágono Regular Com Régua E Compasso (parte 1)
O Heptágono regular foi fonte de muito mistério na Geometria, quanto à sua construção com régua e compasso, apenas. Gaus provou aos $19$ anos que o heptadecágono regular é construtível com régua e compasso. De seus estudos sobre a contrutibilidade...
- Construção De Um Pentágono Regular Com Régua E Compasso (parte Iii)
Neste post vou mostrar uma terceira maneira de construir um pentágono regular utilizando régua e compasso. Para ver as construções anteriores, clique em Parte I e Parte II. Para esta construção, comece traçando um segmento de reta AB que será...
- Construção De Um Pentágono (quase) Regular Com Régua E Compasso - Parte $1$
Esta é a primeira construção de um pentágono usando régua e compasso. Apesar de tê-la encontrada como sendo um pentágono regular, mostrou-se, por fim, que é apenas uma ótima aproximação, tendo os ângulos internos diferenças menores que $1$...