Matemática

Retificação da Circunferência (Parte 6) – Método de Specht

Wilhelm Otto Ludwing Specht (1907-1985) foi um matemático alemão que desenvolveu uma construção geométrica que aproxima a retificação da circunferência com uma precisão de 5 casas decimais.

Construção:

1) Descreva uma circunferência de raio R e de centro O.

2) Trace o diâmetro vertical AB prolongando na direção de B.

3) Trace uma perpendicular por B.

4) Descreva um arco de raio AB e marque o ponto C na intersecção com a perpendicular.

5) Divida o raio AO em cinco partes iguais.

6) Com centro em C, descreva um arco de raio igual a 1/5 do raio AO e marque o ponto D na perpendicular.

7) Com centro em D, descreva um arco de raio igual a 2/5 do raio AO e marque o ponto E na perpendicular.

8) Com centro em A e raio OD, marque o ponto F no prolongamento do diâmetro AB.

9) Una os pontos OE e trace uma paralela a OE que passe por F, marcando o ponto G na intersecção com a perpendicular.

10) O segmento AG é a aproximação da circunferência retificada.

Demonstração:

De acordo com a construção, o segmento AG aproxima a circunferência. Para sua determinação, podemos utilizar semelhança de triângulos, onde:

clip_image002

Assim, temos a relação:

clip_image002[4]

A medida AE é dada por:

clip_image002[6]

clip_image002[8]

clip_image002[10]

A medida AF = OD e a medida OD é dada por:

clip_image002[12]

clip_image002[14]

clip_image002[16]

clip_image002[18]

clip_image002[20]

clip_image002[22]

Aplicando os valores encontrados em (2) e (3) na relação (1), obtemos:

clip_image002[24]

clip_image002[26]

clip_image002[28]

Que podemos escrever como:

clip_image002[30]

Se o raio da circunferência é unitário, então o segmento AG aproxima a circunferência com cinco casas decimais corretas:

clip_image002[32]

Que nos remete a uma aproximação de π a:

clip_image002[34]

Uma aproximação muito boa.

Veja mais:

Retificação da Circunferência Parte 1, Parte 2, Parte 3, Parte 4, Parte 5
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