Matemática
O objetivo desta postagem é apresentar uma versão do Teorema de Pitágoras do ponto de vista da álgebra linear, de acordo com a qual, em todo espaço vetorial real com produto interno, vale uma fórmula análoga àquela bem conhecida da geometria ($$a^2=b^2+c^2$$).
Por certo, nesta generalização as interpretações geométricas desaparecem; nela se estendem as noções de perpendicularidade e comprimento falando-se, então, em ortogonalidade e norma - conceitos estes cujas definições serão necessárias e que, portanto, relembramos a seguir.
Definição de norma: Dado um espaço vetorial real $$V$$ com produto interno e um elemento $$v\in V$$, o número $$\sqrt{\langle v,v \rangle}$$ é chamado de norma de $$v$$ e representado por $$\parallel v \parallel$$.
Definição de vetores ortogonais: Seja $$V$$ um espaço vetorial real com produto interno e sejam $$u$$ e $$v$$ elementos de $$V$$. Diz-se que $$u$$ e $$v$$ são ortogonais quando $$\langle u,v \rangle=0$$.
Teorema (de Pitágoras para espaços vetoriais reais): Em qualquer espaço vetorial real com produto interno, o quadrado da norma de uma soma de vetores ortogonais é igual à soma dos quadrados das normas destes vetores. Em outros termos: se $$V$$ é um espaço vetorial real com produto interno e se $$u_1,u_2,\cdots,u_n$$ são elementos de $$V$$ dois a dois ortogonais, então
$$\parallel u_1+\cdots +u_n \parallel ^2=\langle u_1+\cdots +u_n,u_1+\cdots +u_n \rangle$$
$$=\langle u_1,u_1+\cdots +u_n \rangle +\cdots +\langle u_n,u_1+\cdots +u_n \rangle $$
$$=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_1,u_n \rangle +\cdots +\langle u_n,u_1\rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle $$
$$=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle +2\langle u_1,u_2 \rangle +\cdots +2\langle u_1,u_n\rangle $$
$$=\langle u_1,u_1\rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle +0+\cdots +0$$
$$=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle $$
$$=\parallel u_1 \parallel ^2+\cdots +\parallel u_n \parallel ^2$$
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Matemática
Teorema de Pitágoras para além do plano
Supomos o leitor familiarizado com as noções de espaço vetorial real e de produto interno.
O objetivo desta postagem é apresentar uma versão do Teorema de Pitágoras do ponto de vista da álgebra linear, de acordo com a qual, em todo espaço vetorial real com produto interno, vale uma fórmula análoga àquela bem conhecida da geometria ($$a^2=b^2+c^2$$).
Por certo, nesta generalização as interpretações geométricas desaparecem; nela se estendem as noções de perpendicularidade e comprimento falando-se, então, em ortogonalidade e norma - conceitos estes cujas definições serão necessárias e que, portanto, relembramos a seguir.
Definição de norma: Dado um espaço vetorial real $$V$$ com produto interno e um elemento $$v\in V$$, o número $$\sqrt{\langle v,v \rangle}$$ é chamado de norma de $$v$$ e representado por $$\parallel v \parallel$$.
Definição de vetores ortogonais: Seja $$V$$ um espaço vetorial real com produto interno e sejam $$u$$ e $$v$$ elementos de $$V$$. Diz-se que $$u$$ e $$v$$ são ortogonais quando $$\langle u,v \rangle=0$$.
Teorema (de Pitágoras para espaços vetoriais reais): Em qualquer espaço vetorial real com produto interno, o quadrado da norma de uma soma de vetores ortogonais é igual à soma dos quadrados das normas destes vetores. Em outros termos: se $$V$$ é um espaço vetorial real com produto interno e se $$u_1,u_2,\cdots,u_n$$ são elementos de $$V$$ dois a dois ortogonais, então
$$\parallel u_1 + u_2 + \cdots + u_n \parallel ^2 = \parallel u_1 \parallel ^2 + \parallel u_2 \parallel ^2 + \cdots + \parallel u_n \parallel ^2$$
Prova:
Pela definição da norma (1ª e 7ª igualdades), pelas propriedades do produto interno (2ª, 3ª e 4ª igualdades) e usando que os vetores são ortogonais entre si (5ª igualdade), obtemos:
$$\parallel u_1+\cdots +u_n \parallel ^2=\langle u_1+\cdots +u_n,u_1+\cdots +u_n \rangle$$
$$=\langle u_1,u_1+\cdots +u_n \rangle +\cdots +\langle u_n,u_1+\cdots +u_n \rangle $$
$$=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_1,u_n \rangle +\cdots +\langle u_n,u_1\rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle $$
$$=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle +2\langle u_1,u_2 \rangle +\cdots +2\langle u_1,u_n\rangle $$
$$=\langle u_1,u_1\rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle +0+\cdots +0$$
$$=\langle u_1,u_1 \rangle +\cdots +\langle u_n,u_n \rangle $$
$$=\parallel u_1 \parallel ^2+\cdots +\parallel u_n \parallel ^2$$
?
Em postagem posterior veremos uma aplicação deste resultado na demonstração da desigualdade de Schwarz.
Referência: livro Álgebra Linear de Seymour Lipschutz.
Erros podem ser relatados aqui.
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