Matemática
O triângulo é objeto de estudo desde a antiguidade. Nos remotos tempos de Tales, Pitágoras e Arquimedes já sabia-se algumas de sua propriedades e com o passar dos séculos, os matemáticos e entusiastas vieram a descobrir muitas outras mais. Uma dessas propriedades é que da intersecção das três alturas de um triângulo, obtém-se um ponto denominado ortocentro, que é único em um triângulo.
Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo denominado triângulo órtico, justamente por ser obtido através da construção do ortocentro.
O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtusângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo acutângulo e no obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés das três alturas se coincidem num mesmo ponto, que é o vértice do triângulo que contém o ângulo reto.
Todo triângulo não-retângulo possui um único triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de quatro triângulo diferentes: um acutângulo e três obtusângulos.
A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo órtico. Note que o triângulo acutângulo $ABC$ contém os outros três triângulos obtusângulos, e por este motivo o triângulo acutângulo é denominado triângulo fundamental do triângulo órtico.
Vamos provar que os ângulos $A\widehat{H_a}H_b$ e $A\widehat{H_a}H_c$ são congruentes e também medem $\alpha$.
Observemos que os quadriláteros $HH_aCH_b$ e $HH_aBH_c$ são inscritíveis, por possuírem cada um deles um par de ângulos opostos retos e, portanto, suplementares. Do quadrilátero $HH_aCH_b$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_b \equiv A\widehat{C}H_c$, pois são ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco $HH_b$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b = \alpha
\end{equation}
Analogamente, do quadrilátero $HH_aBH_c$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_c \equiv A\widehat{B}H_c$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_c = \alpha
\end{equation}
Igualando as relações $(1)$ e $(2)$, obtemos que:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b\equiv A\widehat{H_a}H_c
\end{equation}
A relação $(3)$ mostra que a altura $\overline{AH_a}$ do triângulo $ABC$ é a bissetriz de um ângulo interno do triângulo órtico.
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos provar que as outras duas alturas são as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do triângulo órtico.
$1)$ Seja um triângulo acutângulo $ABC$ dado:
$2)$ Primeiramente vamos construir a altura $\overline{AH_a}$, referente ao lado $\overline{BC}$. Com a ponta seca do compasso em $A$, descrevemos um arco que corta o lado $\overline{BC}$ em nos pontos $P_1$ e $P_2$:
$3)$ Em seguida, construímos a mediatriz do segmento definido pelos pontos $P_1$ e $P_2$. Com a ponta seca do compasso em $P_1$, descrevemos um arco de raio maior que a metade do segmento $\overline{P_1P_2}$. Em seguida, descrevemos outro arco de mesmo raio centrado em $P_2$. A reta que passa pela intersecção desses arcos, também passa pelo ponto $A$ e define a altura $\overline{AH_a}$:
$4)$ Analogamente, construímos as alturas $\overline{BH_b}$ e $\overline{CH_c}$ respectivamente aos lados $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ do triângulo:
$5)$ Unindo os pés das alturas $H_a$, $H_b$ e $H_c$, construímos o triângulo órtico $H_aH_bH_c$ referente ao triângulo $ABC$.
Pontos notáveis de um triângulo
Os pontos de Brocard em um triângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
- Triângulo
O triângulo é considerado uma importante figura no ramo da Geometria, pois através dele podemos estabelecer várias relações fundamentais, como exemplo temos uma relação muito importante utilizada na Geometria e na Trigonometria, que é o Teorema...
- Fórmulas Para A área De Um Triângulo
Veremos neste post $4$ fórmulas para calcular a área de um triângulo. Todas elas dependem de pelo menos um dos lados do triângulo. Primeiramente, determinaremos a área do paralelogramo, que servirá como base para as demonstrações subsequentes....
- O Teorema Da Corda Quebrada De Arquimedes
O matemático árabe Abul Raihan al Biruni atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, chamada teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo: Teorema (Arquimedes):Se $AB$ e $BC$ compõem uma corda quebrada $ABC$, onde $BC >...
- Relações Métricas No Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos. Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:...
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Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central. Definição:Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência,...
Matemática
Triângulos órticos
O triângulo é objeto de estudo desde a antiguidade. Nos remotos tempos de Tales, Pitágoras e Arquimedes já sabia-se algumas de sua propriedades e com o passar dos séculos, os matemáticos e entusiastas vieram a descobrir muitas outras mais. Uma dessas propriedades é que da intersecção das três alturas de um triângulo, obtém-se um ponto denominado ortocentro, que é único em um triângulo.
Ao unirmos os pés dessas alturas, obtemos um novo triângulo denominado triângulo órtico, justamente por ser obtido através da construção do ortocentro.
Definição
Chama-se órtico de um triângulo $ABC$ qualquer, o triângulo cujos vértices são os pés das alturas do triângulo $ABC$.O ortocentro existe em qualquer triângulo, seja ele acutângulo, obtusângulo ou retângulo. No entanto, o triângulo órtico só existe no triângulo acutângulo e no obtusângulo, pois no triângulo retângulo os pés das três alturas se coincidem num mesmo ponto, que é o vértice do triângulo que contém o ângulo reto.
Todo triângulo não-retângulo possui um único triângulo órtico. Porém, um mesmo triângulo órtico pode ser obtido de quatro triângulo diferentes: um acutângulo e três obtusângulos.
A figura acima mostra os quatro triângulos que possuem o mesmo órtico. Note que o triângulo acutângulo $ABC$ contém os outros três triângulos obtusângulos, e por este motivo o triângulo acutângulo é denominado triângulo fundamental do triângulo órtico.
Teorema
As alturas de um triângulo acutângulo são as bissetrizes dos ângulos internos do triângulo órtico.Demonstração
Primeiramente, vemos que os ângulos $A\widehat{B}H$ e $A\widehat{C}H$ são congruentes e medem $\alpha$.Vamos provar que os ângulos $A\widehat{H_a}H_b$ e $A\widehat{H_a}H_c$ são congruentes e também medem $\alpha$.
Observemos que os quadriláteros $HH_aCH_b$ e $HH_aBH_c$ são inscritíveis, por possuírem cada um deles um par de ângulos opostos retos e, portanto, suplementares. Do quadrilátero $HH_aCH_b$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_b \equiv A\widehat{C}H_c$, pois são ângulos inscritos que enxergam o mesmo arco $HH_b$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b = \alpha
\end{equation}
Analogamente, do quadrilátero $HH_aBH_c$, deduzimos que $A\widehat{H_a}H_c \equiv A\widehat{B}H_c$:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_c = \alpha
\end{equation}
Igualando as relações $(1)$ e $(2)$, obtemos que:
\begin{equation}
A\widehat{H_a}H_b\equiv A\widehat{H_a}H_c
\end{equation}
A relação $(3)$ mostra que a altura $\overline{AH_a}$ do triângulo $ABC$ é a bissetriz de um ângulo interno do triângulo órtico.
Seguindo o mesmo raciocínio, podemos provar que as outras duas alturas são as bissetrizes dos outros dois ângulos internos do triângulo órtico.
Construção geométrica do triângulo órtico a partir do triângulo fundamental
Dado um triângulo acutângulo $ABC$, veremos como construir seu triângulo órtico. Para tal, devemos traçar as três alturas.$1)$ Seja um triângulo acutângulo $ABC$ dado:
$2)$ Primeiramente vamos construir a altura $\overline{AH_a}$, referente ao lado $\overline{BC}$. Com a ponta seca do compasso em $A$, descrevemos um arco que corta o lado $\overline{BC}$ em nos pontos $P_1$ e $P_2$:
$3)$ Em seguida, construímos a mediatriz do segmento definido pelos pontos $P_1$ e $P_2$. Com a ponta seca do compasso em $P_1$, descrevemos um arco de raio maior que a metade do segmento $\overline{P_1P_2}$. Em seguida, descrevemos outro arco de mesmo raio centrado em $P_2$. A reta que passa pela intersecção desses arcos, também passa pelo ponto $A$ e define a altura $\overline{AH_a}$:
$4)$ Analogamente, construímos as alturas $\overline{BH_b}$ e $\overline{CH_c}$ respectivamente aos lados $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ do triângulo:
$5)$ Unindo os pés das alturas $H_a$, $H_b$ e $H_c$, construímos o triângulo órtico $H_aH_bH_c$ referente ao triângulo $ABC$.
Referências:
[1] Desenho Geométrico Volume Especial - Putnoki - Ed. ScipioneVeja mais:
Pontos notáveis de um triângulo
Os pontos de Brocard em um triângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
- Triângulo
O triângulo é considerado uma importante figura no ramo da Geometria, pois através dele podemos estabelecer várias relações fundamentais, como exemplo temos uma relação muito importante utilizada na Geometria e na Trigonometria, que é o Teorema...
- Fórmulas Para A área De Um Triângulo
Veremos neste post $4$ fórmulas para calcular a área de um triângulo. Todas elas dependem de pelo menos um dos lados do triângulo. Primeiramente, determinaremos a área do paralelogramo, que servirá como base para as demonstrações subsequentes....
- O Teorema Da Corda Quebrada De Arquimedes
O matemático árabe Abul Raihan al Biruni atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, chamada teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo: Teorema (Arquimedes):Se $AB$ e $BC$ compõem uma corda quebrada $ABC$, onde $BC >...
- Relações Métricas No Triângulo Retângulo
O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos. Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:...
- Ângulo De Segmento Ou ângulo Semi-inscrito
Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central. Definição:Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência,...