Construção Geométrica de PHI em Circunferências (Parte 3)
Esta construção se dá com a circunferência circunscrita a um triângulo eqüilátero. Tomando os pontos médios de dois lados do triângulo, unimos esses pontos por um segmento de reta prolongando-o até a intersecção com a circunferência. A razão entre os segmentos AC e AB é PHI.
[Figura 1]
Sendo a os lados do triângulo eqüilátero inscrito à circunferência, temos que encontrar as medidas dos segmentos AC e AB.
Considerando a figura abaixo, notem que, se DF = a, logo:
[Figura 2]
Vamos determinar primeiramente a medida da altura MF do triângulo:
Veja que DE = DJ + JL + LE = a e que JL = AB = a / 2. Logo, o segmento DJ é igual:
Vamos determinar a medida de AJ:
Analisando a figura 2, vemos que:
Podemos agora aplicar o teorema pitagórico no triângulo retângulo OGC, onde r é o raio da circunferência que equivale a 2/3 de sua altura:
Temos que
Simplificando, obtemos:
O segmento AC = AG + GC. Sabemos que AG = a / 4, logo:
A Razão Áurea nesta construção é dada por:
Veja que esta construção desenvolvida por George Odom e publicada no American Mathematics Monthly, em 1983, independe do raio da circunferência. Um bela construção!
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