Matemática

Demonstração da Derivada da Função Cosseno

Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

a) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

Uma das fórmulas de Prostaférese (já demonstradas aqui), onde se transforma diferença de cossenos em produto:

clip_image002 ( I )

O limite fundamental:

clip_image002[22]

O conceito de derivada:

clip_image002[4]

b) Seja a função cosseno:

f(x) = cos(x)

Do conceito de derivada, temos:

clip_image002[6]

Então:

clip_image002[8]

Aqui temos em diferença de cossenos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:

clip_image002[10]

clip_image004

clip_image006

Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:

clip_image002[12]

Então, se:

clip_image002[14]

Então:

clip_image002[16]

Portanto:

clip_image002[18]

clip_image004[4]

Aplicando o limite de t, obtemos:

clip_image002[20]

clip_image004[6]

Portanto:

clip_image002[24]

Conclusão:

Se:

clip_image002[26]

clip_image004[8]

clip_image002[28]

Veja mais demonstrações aqui!

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