Matemática
Demonstração da Derivada da Função Seno
Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:
1) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:
a) Uma das fórmulas de Prostaférese, onde se transforma diferença de senos em produto:
b) O Limite Fundamental :
![clip_image002[4] clip_image002[4]](matematica/matematica-57ac274696309.gif?imgmax=800)
c) O conceito de derivada:
![clip_image002[6] clip_image002[6]](matematica/matematica-57ac274697a42.gif?imgmax=800)
2) Seja a função seno:
f (x) = sen(x)
Do conceito de derivada temos:
![clip_image002[8] clip_image002[8]](matematica/matematica-57ac2746990c6.gif?imgmax=800)
Então:
![clip_image002[10] clip_image002[10]](matematica/matematica-57ac27469a640.gif?imgmax=800)
Aqui temos em diferença de senos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:



Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:
![clip_image002[14] clip_image002[14]](matematica/matematica-57ac27469fa4b.gif?imgmax=800)
Então, se:
![clip_image002[16] clip_image002[16]](matematica/matematica-57ac2746a0df3.gif?imgmax=800)
Então:
![clip_image002[18] clip_image002[18]](matematica/matematica-57ac2746a2168.gif?imgmax=800)
Portanto:
![clip_image002[20] clip_image002[20]](matematica/matematica-57ac2746a342b.gif?imgmax=800)
![clip_image004[4] clip_image004[4]](matematica/matematica-57ac2746a46e4.gif?imgmax=800)
Aplicando o limite de t, obtemos:
![clip_image002[22] clip_image002[22]](matematica/matematica-57ac2746a59df.gif?imgmax=800)

Portanto:
![clip_image002[24] clip_image002[24]](matematica/matematica-57ac2746a7e01.gif?imgmax=800)
Conclusão:
Se:
![clip_image002[26] clip_image002[26]](matematica/matematica-57ac2746a8f5f.gif?imgmax=800)
![clip_image004[8] clip_image004[8]](matematica/matematica-57ac2746aa03e.gif?imgmax=800)
e:
![clip_image002[28] clip_image002[28]](matematica/matematica-57ac2746ab10e.gif?imgmax=800)
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