Matemática

Demonstração da Derivada da Função Seno

Esta demonstração está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

1) Inicialmente, vamos relembrar alguns conceitos:

a) Uma das fórmulas de Prostaférese, onde se transforma diferença de senos em produto:

b) O Limite Fundamental :

clip_image002[4]

c) O conceito de derivada:

clip_image002[6]

2) Seja a função seno:

f (x) = sen(x)

Do conceito de derivada temos:

clip_image002[8]

Então:

clip_image002[10]

Aqui temos em diferença de senos. Comparando com a fórmula de prostaférese ( I ) e fazendo as devidas substituições, obtemos:

clip_image002

clip_image004

clip_image006

Neste momento, x passa a ser uma constante. Fazemos uma troca de variável, onde:

clip_image002[14]

Então, se:

clip_image002[16]

Então:

clip_image002[18]

Portanto:

clip_image002[20]

clip_image004[4]

Aplicando o limite de t, obtemos:

clip_image002[22]

clip_image002

Portanto:

clip_image002[24]

Conclusão:

Se:

clip_image002[26]

clip_image004[8]

clip_image002[28]

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